Интегрирование по частям. Пусть функции u(х) и v(x) непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, то


Формула (4) называется формулой интегрирования по частям. Применение формулы (4) целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное выражение f(x)dx удается представить в виде произведения двух множителей u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu являлось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения. По известному дифференциалу dv функция v и определяется неоднозначно, но в формуле (4) в качестве v может быть выбрана любая функция с данным дифференциалом dv. Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Пример 1. Найти интеграл:

Цель занятия: научить студента вычислять двойной интеграл.

Порядок проведения:
1.изучить теоретический материал;
2.разобрать предложенный пример;
3.выполнить предложенные задания:
4.ответить на контрольные вопросы.

Студент должен: Знать: определение двойного интеграла, свойства двойного интеграла.

Уметь; строить область интегрирования, расставлять пределы интегрирования, вычислять интегралы, вычислять площадь фигуры с помощью двойного интеграла.

Двойной интеграла в полярных координатах принимает вид:



ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями