Покажем на конкретных примерах:
1) Как определить пределы интегрирования в двойном интеграле;
2) Как поменять порядок интегрирования в двойном интеграле;
3) Как изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле
 
Пример 1. Определить пределы интегрирования интеграла

$$\iint_{S}^{.} f(x,y)dxdy$$

 если область интегрирования S (рис.1) ограничена гиперболой  $y^2-x^2=1" $ и двумя прямыми $x=2,x=-2"$ (имеется ввиду область содержащая начало координат)

  Пример 2. Поменять порядок интегрирования

 $I=\iint_{D}^{.}f\left ( x,y \right )dxdy,D:x=1,x=2,y=x,y=2x$

Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

 

 $I=\int_{0}^{1}dx\int_{-2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}}f\left ( x,y \right )dy$

 

Пример 4. Изменить порядок интегрирования
  $\int_{0}^{1}dy\int_{y}^{\sqrt{2-y^2}}f\left ( y,z \right )dz$ Решение.

Смотри готовые решения: Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах

Для вычисления двойных интегралов имеется сервис решение двойных интегралов