Решим задачи, контрольные, курсовые...

Доведіть що прямі а і m перетинаються

Admin — Wed, 25 Sep 2019 16:48:55 GMT

Задача. Пряма m є лінією перетину площин α і β. Пряма а лежить у площині α і перетинає площину β. Доведіть що прямі а і m перетинаються

Решение.

Только один ключ подходит к замку из 5 ключей

Admin — Wed, 25 Sep 2019 10:13:18 GMT

Задача. Имеется пять различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение. Имеем испытания Бернулли с вероятностью успеха $p=15$
и с вероятностью неудачи $q=1−p=45$.
Испытания проводятся до появления первого успеха. Пусть случайная величина $X$
– число проведённых испытаний. Надо найти распределение случайной величины $X$.

Очевидно, что возможные значения $X$ - натуральные числа.

Событие ${X=k}$ означает, что сначала оказалось $k−1$
неудач, а в испытании с номером $k$
наступил успех. Испытания Бернулли независимы, поэтому
$P(X=k)=q^{k−1}p$
для $k=1,2,…$

Таким образом, получается геометрическое распределение.
Функция распределения

$F(x)=P(X⩽x)=P(X=1)+P(X=2)+⋯+P(X=⌊x⌋)=$

$=p+pq+⋯+pq^{⌊x⌋−1}=p\frac{1-q^x}{1-q}=1−q⌊x⌋=1-\left (\frac{1}{5} \right )^{x}$

Найдем матожидание $MX$. По определению
$MX=\sum_{n=1}^{\infty }n\cdot P(X=n)=\sum_{n=1}^{\infty}npq^{n-1}=p\sum_{n=1}^{\infty }nq^{n-1}$

Найдем сумму $S=1+2⋅q+3⋅q^2+…$

$qS=q+2⋅q2+3⋅q3+…$

$S−qS=1+q+q^2+q^3+⋯=\frac{1}{1-q}$, откуда

$S=\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p^2}$

$MX=pS=\frac{1}{p}=5$

Найдем теперь дисперсию. По определению $DX=MX^2−(MX)^2$

$MX^2=\sum_{n=1}^{\infty }n^2\cdot P(X=n)=p\cdot \sum_{n=1}^{\infty }n^2q^{n-1}$

Пусть $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n^2x^{n−1}$

$G(x)$ - такая, что $G′(x)=g(x)$

$G(x)=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n=x*\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n−1}$

Последняя сумма равна $\frac{1}{(1-x)^2}$

$G(x)=\frac{x}{1-x}$

$g(x)=G′(x)=\frac{x+1}{(1-x)^3}$

$MX^2=p⋅g(q)=p\frac{q+1}{p^3}=\frac{q+1}{p^2}=95⋅25=45$

Дисперсия $DX=MX^2−(MX)^2=45−25=20$

Задача о подборе ключа

Admin — Wed, 25 Sep 2019 08:59:04 GMT

Задача. На связке n ключей. Человек не знает, какой ключ из связки подходит для замка. Он перебирает их по-очереди. Какова вероятность того, что за m попыток он это сделает?

Решение. Если ключи занумерованы фиксированным случайным образом, то вероятность того, что заданный ключ открывает дверь, равна $1/n$. Пусть $Ai$ -- случайное событие, состоящее в том, что $ i-й $ключ подходит. Оно имеет вероятность $1/n$. Если мы делаем m попыток, беря первые m ключей, то мы имеем дело с объединением событий вида $Ai$, где где $1≤i≤m$. Они попарно не пересекаются, так как "правильный" ключ всего один. Значит, вероятность открыть дверь за m попыток равна сумме этих вероятностей, то есть $m/n$.

Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним

Admin — Wed, 25 Sep 2019 08:02:16 GMT

Задача. Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем - только десятым. Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы открыть все замки?

Ответ: Для 1-го замка достаточно 9 проб (10-я не обязательна), для 2-го - 8, для 3-го - 7 и т.д., а для оставшегося 10-го не требуется ни одной. Общее число проб составит 9+8+7+...+1+0 = 45.

Свойства выборочных вариаций и ковариаций

Admin — Tue, 24 Sep 2019 18:28:21 GMT

По определению

вариация (дисперсия) $var\left ( x \right )=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
ковариация $cov(X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\right)$

Свойства:

$cov(x,a)=0$
$cov(x,y)=cov(y,x)$
$cov(x,x)=var(x)$
$cov(x,y)=acov(x,y)$
$cov(x,у+z)=cov(x,у)+cov(x,z)$
$cov(x,y)=0$ (если $x,y$ независимы)
$var(a)=0$ (постоянная не обладает изменчивостью)
$var(ax)=a^2var(x)$ (при изменении единицы измерения переменной в раз, во столько же раз преобразуется и величина стандартного отклонения этой переменной)
$var(x+a)=var(x)$ (сдвиг начала отсчета не влияет на вариацию переменной)
$var(x+y)=var(x)+var(y)+2cov(x,y)$ (вариация суммы двух переменных отличается от суммы вариаций этих переменных на величину, которая равна удвоенному значению ковариации между названными переменными)

Где $а$ — некоторая постоянная, а $х, у, z$ — переменные, принимающие в i-м наблюдении значения $x_i,y_i,z_i,i=1,..., n$ ($n$ — количество наблюдений).