Интегрирование по частям.

Пусть функции u(х) и v(x) непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, то

           

Формула (4) называется формулой интегрирования по частям. Применение формулы (4) целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное выражение f(x)dx удается представить в виде произведения двух множителей u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu являлось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения. По известному дифференциалу dv функция v и определяется неоднозначно, но в формуле (4) в качестве v может быть выбрана любая функция с данным дифференциалом dv. Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Пример 1. Найти интеграл:

  

Решение.

Пример 2. Найти интеграл:

Решение.

Пример 3. Найти интеграл

 

Решение.

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение.

Проверить правильность вычисления можно с помощью калькулятора определенных интегралов.