23:09
Сходимость рядов
|
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
1. Дайте определение сходящегося и расходящегося рядов. 2. Сформулируйте необходимый признак сходимости рядов. 3. Сформулируйте признаки Даламбера, Коши и интегральный признак
сходимости рядов положительными членами. Приведите примеры.
4. Дайте определение признака Лейбница сходимости знакочередующихся
рядов.
Приведите пример применения этого признака.
5. Сформулируйте теорему Абеля о сходимости степенных рядов. Выведите
формулу радиуса сходимости ряда.
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность
его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его
частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е.
не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся
и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
1. Основные понятия
Определение. Пусть задана бесконечная последовательность чисел
Тогда выражение
![]() называется числовым рядом. Здесь ![]() Примеры: 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() Определение. Суммы вида ![]() ![]() Определение. Если последовательность ![]()
предел,торяд (1) называется сходящимся. Этот предел называется суммой ряда.
2. Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то
![]()
утверждение неверно, то есть данное условие может выполняться, но ряд будет
расходиться.
Достаточные признаки сходимости 1. Признак сравнения. Имеем два ряда с положительными членами ![]() ![]() Пусть имеется такой номер N, что для всех членов ряда, у которых ![]()
выполняется
![]()
ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
2. Признак Даламбера Пусть дан ряд с положительными членами ![]() ![]() ![]() ![]()
при
![]() 3. Знакопеременные ряды
Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется
знакопеременным.
Знакочередующимся называется ряд вида ![]() ![]() Ряды вида ![]()
знакочередующимися.
Признак абсолютной сходимости Знакопеременный ряд ![]() сходится, если сходится ряд ![]() Ряд (4) называется в этом случае абсолютно сходящимся. Если ряд (4) сходится,
а ряд(5) расходится, то ряд (4) называется условно сходящимся.
При этом сходимость ряда (4)можно в ряде случаев установить без исследования
ряда (5).
Признак сходимости Лейбница Пусть имеется знакочередующийся ряд ![]() Если одновременно выполняются следующие два условия: 1) ![]() 2) ![]() ![]() 4. Степенные ряды
Определение. Ряд вида
![]()
степенным рядом. Здесь постоянные величины a1, a2, …, ak,… – коэффициенты ряда,
a0 – свободный член. Степенные ряды являются одним из видов функциональных
рядов вида
![]() Очевидно, любой степенной ряд сходится при х=0. Для любого степенного ряда
имеется интервал (–R, R), называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого
ряд сходится, а вне интервала ряд расходится. На границах интервала ряд может либо
сходится, либо расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, он
находится по формуле:
![]() Таким образом, поиск области сходимости степенного ряда заключается в определении
его радиуса сходимости R и исследования сходимости ряда на границах интервала
сходимости (при
![]() Разложение функции f(x) в ряд Маклорена имеет следующий вид: ![]() Наиболее употребительны разложения следующих функций: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену ![]() ![]() ![]() Решение. Первые три члена ряда будут: ![]() ![]() ![]() Имеем ![]() Определяем радиус сходимости: ![]() Интервал сходимости имеет вид: ![]() Пусть ![]() ![]() Применяем к этому знакочередующемуся ряду признак Лейбница: ![]() ![]() Оба условия выполняются, следовательно ряд при ![]() Пусть ![]() ![]() Сравнивая с расходящимся гармоническим рядом ![]()
видим,что, начиная с n=2, выполняется- неравенство
![]()
поэтому по признаку сравнения ряд расходится (так как расходится гармонический ряд). Область сходимости ряда
![]() Пример. Вычислить ![]() ![]() Решение. Преобразуем ![]() ![]() Полученный ряд знакочередующийся и его члены убывают по абсолютной величине,
поэтому погрешность не превзойдет первого отброшенного члена.
Очевидно, что 2∙0,00001<0,0001. Следовательно, ![]() ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Ответы на вопросы, а также примеры решений, калькулятор для определения сходимости рядов в категории: сходимость рядов. Онлайн сервис: решение контрольных работ в авторском исполнении без посредников. |
|
Всего комментариев: 0 | |