Определение непрерывности по Коши (на языке  $ε−δ$)

Рассмотрим функцию $f(x)$, которая отображает множество действительных чисел $R$ на другое подмножество $B$ действительных чисел. Говорят, что функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a∈R$, если для любого числа $ε>0$ существует число $δ>0$, такое, что для всех $x∈R$, удовлетворяющих соотношению $|x−a|<δ$, выполняется неравенство $|f(x)−f(a)|<ε.$

 

Задача 1. Доказать на языке эпсилон-дельта, что функция $y=7x−4$ непрерывна в точке $x_0=6$.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если для любого $ε>0$ найдётся такое $δ>0$, что для любого $x $если $|x−a|<δ, то |f(x)−f(a)|<ε$.

Пусть $f(x)=7x−4, a=6$. Эта функция непрерывна в указанной точке, если $$(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x)(|x−6|<δ→|7x−4−38|<\varepsilon).$$ Иначе: $$(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x)(|x−6|<δ→|x−6|<\frac{\varepsilon }{7}).$$

Осталось положить $δ=\frac{\varepsilon }{7}$.

 

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке $x=a$, если справедливо равенство

$\lim\limits_{\Delta x \ ... Смотреть решение »

Комбинаторные уравнения

Для решения комбинаторных уравнений, достаточно знать основные формулы комбинаторики:

• формула перестановок $P_n=n!$,
• формула сочетаний $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$,
• формула комбинаций $С_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

и уметь решать алгибраические уравнения.

 

Задача 1. Решить комбинаторное уравнение:

$$\frac{P_x+3P_{x-1}}{2P_{x+2}+14P_{x+1}}=\frac{2A_{x}^{5}}{5A_{x+2}^{7}}$$

Решение.

Шаг 1. Применяем формулы комбинаторики (перестановки, сочетания) получаем:

$$P_{x+1}= (x+1)!,\: A_{x}^{5}=\frac{x!}{(x-5)!},\: A_{x+2}^{7}=\frac{(x+2)!}{(x+2-7 )!}=\frac{(x+2 )!}{(x-5 )!} $$

Шаг 2. Подставим эти выражения в уравнение и найдем его решение:

$$\frac{x!+3\cdot(x-1)! }{2\cdot (x+2)!+14\cdot (x+1)!}=\frac{2\cdot\frac{x!}{(x-5)!} }{5\cdot\frac{(x+2 )!}{(x-5 )!} }$$

$$x^2-11x+30=0\Rightarrow x_1=5,\: x_2=6$$

Для проверки правильности решения  комбинаторного уравнения можно воспользоваться калькулятором комбинаторных уравнений. Формулы набираем как на обычном калькуляторе, знак факториал(!)

... Смотреть решение »

Готовые контрольные работы по курсу "Специальная математика"

Вариант № 1

Задача 1. Решить уравнения:

$$a)\, \: \frac{2P_{x+1}+3P_x}{3P_{_{x+2}}+8P_{x+1}} =\frac{3A_{x+1}^{3}}{5A_{x+2}^{4}};\: \: b)\: C_{3}^{2}C_{x+6}^{3}=C_{x+4}^{x+3}+2C_{9}^{2}$$

Задача 2. Все студенты курса изучают иностранные языки: 110 студен-тов изучают английский язык, 100 студентов изучают немецкий язык, 45 студентов изучают английский и немецкий языки, 43 студента изучают английский и французский языки, 40 студентов изучают немецкий и французский языки, 17 студентов изучают все языки. Сколько студентов изучают французский язык, если в курсе учатся 200 студентов?

Задача 3. Вычислить суммы:

$$a)\, C_{m+k}^{m-1}+C_{m+k+1}^{m-1}+...+ C_{m+2k-1}^{m-1}; $$
$$b)\: \sum_{k=0}^{n}\left ( -5k^2+2k+4+\frac{4k+5}{k^2+3k+2} \right )C_{n}^{k}$$

 

Задача 4. Координаты вектора $x={x_1,x_2,x_3,x_4}$ являются натуральными числами.

а) Сколько существуют различных векторов , координаты которых удовлетворяют системе

$$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2+x_3+x_4=16\\ x_1\geq 3,x_2\geq 5,x_3\geq 4,x_4\geq 1 \end{matrix}\right.$$

б) написать все такие вектора.

Задача 5. Решить однородные рекуррентные соотношения методом производящих функций:

$$a)\: 9u_{n+2}-12u_{n+1}+4u_n=0,\: n=1,2,...; ... Смотреть решение »