Комбинаторные уравнения

Для решения комбинаторных уравнений, достаточно знать основные формулы комбинаторики:

• формула перестановок $P_n=n!$,
• формула сочетаний $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$,
• формула комбинаций $С_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

и уметь решать алгибраические уравнения.

Задача 1. Решить комбинаторное уравнение:

$$\frac{P_x+3P_{x-1}}{2P_{x+2}+14P_{x+1}}=\frac{2A_{x}^{5}}{5A_{x+2}^{7}}$$

Решение.

Шаг 1. Применяем формулы комбинаторики (перестановки, сочетания) получаем:

$$P_{x+1}= (x+1)!,\: A_{x}^{5}=\frac{x!}{(x-5)!},\: A_{x+2}^{7}=\frac{(x+2)!}{(x+2-7 )!}=\frac{(x+2 )!}{(x-5 )!}$$

Шаг 2. Подставим эти выражения в уравнение и найдем его решение:

$$\frac{x!+3\cdot(x-1)! }{2\cdot (x+2)!+14\cdot (x+1)!}=\frac{2\cdot\frac{x!}{(x-5)!} }{5\cdot\frac{(x+2 )!}{(x-5 )!} }$$

$$x^2-11x+30=0\Rightarrow x_1=5,\: x_2=6$$

Для проверки правильности решения  комбинаторного уравнения можно воспользоваться калькулятором комбинаторных уравнений. Формулы набираем как на обычном калькуляторе, знак факториал(!)

Задача 2 Решить комбинаторное уравнение:

$$C_{15}^{14} C_{x+3}^{3}= C_{5}^{1} C_{x+2}^{2} C_{x+1}^{x}+ (C_{5}^{3})^2$$

Решение. Имеем:

$$C_{15}^{14}= \frac{15!}{14!*1!}=1,5$$

$$C_{x+3}^{3}= \frac{(x+3)!}{x!*3!}= \frac{1}{6}(x^2+6x^2 +11x+6),$$

$$C_{5}^{1}= \frac{(5)!}{1!*4!}=5,$$

$$C_{x+2}^{2}=\frac{(x+2)!}{2!*x!}= \frac{1}{2}(x^2+3x^2+3),$$

$$C_{x+1}^{x}=\frac{(x+1)!}{x!*1!}=x+1,$$

$$(C_{5}^{3})^2=( \frac{(5)!}{3!*2!})^2=100.$$

Подставим эти выражения в уравнение:

$$15*\frac{1}{6}(x^3+6x^2+11x+6)=5*\frac{1}{2}(x+1)+100$$

$$x^2+6x-18=0 \Rightarrow x_1=3,\: x_2=-6$$

Корень $x=-6$ является посторонним, так как не попадает в область определения уравнения.

ЗАДАНИЯ
по контрольной работе
«СПЕЦИАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

Все варианты СКАЧАТЬ

В каждом варианте подробно решены все задачи. Контрольные работы  выполнены в формате Word.  Стоимость решения одного варианта, или аналогичной работы  от 300р,, срок выполнения не более 1 дня (можно заказать задачи выборочно, из любого варианта), ЗАКАЗАТЬ