Определение непрерывности по Коши (на языке  $ε−δ$)

Рассмотрим функцию $f(x)$, которая отображает множество действительных чисел $R$ на другое подмножество $B$ действительных чисел. Говорят, что функция $f(x)$ является непрерывной в точке $a∈R$, если для любого числа $ε>0$ существует число $δ>0$, такое, что для всех $x∈R$, удовлетворяющих соотношению $|x−a|<δ$, выполняется неравенство $|f(x)−f(a)|<ε.$

Задача 1. Доказать на языке эпсилон-дельта, что функция $y=7x−4$ непрерывна в точке $x_0=6$.

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $a$, если для любого $ε>0$ найдётся такое $δ>0$, что для любого $x $если $|x−a|<δ, то |f(x)−f(a)|<ε$.

Пусть $f(x)=7x−4, a=6$. Эта функция непрерывна в указанной точке, если $$(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x)(|x−6|<δ→|7x−4−38|<\varepsilon).$$ Иначе: $$(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x)(|x−6|<δ→|x−6|<\frac{\varepsilon }{7}).$$

Осталось положить $δ=\frac{\varepsilon }{7}$.

Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке $x=a$, если справедливо равенство

$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {f\left( {a + \Delta x} \right) - f\left( a \right)} \right] = 0,$

где $Δx=x−a. $

Задача 2. Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция $f(x)=x^2$ непрерывна в произвольной точке $x=a$.