Одинаково распределённые слагаемые

 Если в условиях ЗБЧ среднее арифметическое   сходится по вероятности к a, то разность S_n/n - a  сходится к нулю. Оказывается, что эта разность ведёт себя подобно величине (σ/√n)*η,  где η —случайная величина со стандартным нормальным распределением. Иначе говоря, с ростом n распределение величины

становится всё более похожим на стандартное нормальное распределение.
Это утверждение и называется «центральной предельной теоремой».
Т е о р е м а  (центральная предельная теорема). Пусть ξ₁ , ξ₂ , ... —
независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной
и ненулевой дисперсией σ² и математическим ожиданием ... Смотреть решение »

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведе-
ние среднего арифметического случайных величин с произвольными распре-
делениями, ЗБЧ Бернулли—утверждение только для схемы Бернулли.

Т е о р е м а (ЗБЧ Бернулли). Пусть ν_n —число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

Тогда   При этом для любого ε > 0

или в эквивалентной форме

См. доказательство.

П р и м е р 1. Правильная монета подбрасывается 10000 раз. Оценим
вероятность того, что число гербов отличается от 5000 менее, чем на 100.
Пусть ν_n —число г ... Смотреть решение »

 Законы больших чисел

Законами больших чисел (ЗБЧ) принято называть утверждения о том,
при каких условиях среднее арифметическое случайных величин «стабилизируется» с ростом числа слагаемых. Всюду, где будут встречаться одинаково
распределённые случайные величины ξ i , число a = Eξ₁ будет обозначать их
(у всех одинаковое) математическое ожидание, σ² —их дисперсию.

Т е о р е м а  (ЗБЧ Чебышёва). Для любой последовательности
ξ₁ , ξ₂ , ... независимых и одинаково распределённых случайных величин
с конечной дисперсией имеет место сходимость:

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа одинаково
устроенных случайных слагаемых сближается со средним значением одного
слагаемого. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от
своего математического ожидания, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной
величине.

См. доказательство.

... Смотреть решение »