Сложные учетные ставки

Типовые  задачи.  Чему равен множитель дисконтирования при дисконтировании по сложной учетной ставке?

1. Может ли учет по сложной учетной ставке привести к отрицательным значениям?

2. Что происходит с величиной учтенного капитала, если растет число осу-ществлений операций дисконтирования по сложной учетной ставке?

Задача 1. За долговое обязательство в 80 тыс. руб. банком было выплачено 62 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась годовая сложная учетная ставка 28 задачи с решениями

Задача 1. Вексель на сумму 70 тыс. руб. со сроком погашения через 4 года учтен за 32 месяца по сложной учетной ставке 24% годовых. Определить сум-мы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета.

Решение

1) При применении схемы сложных процентов воспользуемся формулой $P=F\cdot(1-d)^{w+f}$  при n = 32/12= 8/3, F = 70 тыс. руб., d = 0,24,$ поэтому

$P=70\cdot (1-0,24)^\frac{8}{3}=33,672$

Владелец векселя получит 33 672 руб.

2) При применении смешанной схемы воспользуемся формулой

$P=F\cdot(1-d)^{w+f}$   при w = 2, f = 2/3:$

$P=70(1-0,24)^2(1-\frac{2}{3}\cdot0,24)=$33,963$

Владелец векселя получит 33 672 руб.

Задача 2. Долговое обязательство на выплату 46 тыс. руб. учтено за 4 года до срока погашения. Определите сумму, полученную при учете этого обязатель-ства, если производилось 1) полугодовое; 2) поквартальное; 1) ежемесячное дисконтирование по сложной учетной ставке 24% годовых.

Решение 1) Используем формулу

$P=F(1-\frac{d}{m})^{m\cdot n}   при F = 46; d = 0,24; n = 4; m = 2$

$P=46(1-\frac{0,24}{2})^{2\cdot4}=16,543$

  Сумма, полученная при учете обязательства, равна 16 543 руб.

2) Используем формулу

$P=F(1-\frac{d}{m})^{m\cdot n}   при F = 46; d = 0,24; n = 4; m = 4:$

$P=46(1-\frac{0,24}{4})^{4\cdot4}=17,092$

Сумма, полученная при учете обязательства, равна 17092 руб.

3) Используем формулу

$P=F(1-\frac{d}{m})^{m\cdot n}   при F = 46; d = 0,24; n = 4; m = 12:$ 

$P=46(1-\frac{0,24}{12}^{12\cdot4}=17,443$

Сумма, полученная при учете обязательства, равна 17443 руб.

Сравнивая полученные результаты, делаем вывод, что с ростом числа осу-ществлений операций дисконтирования в году сумма, полученная при учете обязательства, возрастает.

Задача 3. Вексель был учтен за 2,5 года до срока его погашения, при этом вла-делец векселя получил четверть от написанной на векселе суммы. По какой го-довой учетной ставке был учтен этот вексель, если производилось 1) поквар-тальное дисконтирование; 2) ежемесячное дисконтирование.

Решение 1) по формуле

$d=m\left [ 1-(\frac{P}{F})^{\frac{1}{m\cdot n}} \right ]  при P=0,25F; n=2,5; m=4,$ получим :

$d=4\cdot \left [ 1-0,25^{\frac{1}{4\cdot2,5}} \right ]=0,5178$

Вексель был учтен по сложной учетной ставке 51,78% годовых.

2) по формуле $d=m\left [ 1-(\frac{P}{F})^{\frac{1}{m\cdot n}} \right ]  при P=0,25F; n=2,5; m=12, $получим :

$d=4\cdot [1-0,25^\frac{1}{12\cdot2,5}]=0,5419$

Вексель был учтен по сложной учетной ставке 54,19 % годовых.

Задача 4. Клиент имеет вексель на 100 тыс. руб., который он хочет учесть 01.03.2010 в банке по сложной учетной ставке равной 7% годовых. Какую сум-му он получит, если срок погашения векселя 01.08.2010 г.?

Решение Срок даты учета до даты погашения векселя равен 153 дня, число дней в году 365.

По формуле  $P=F(1-d)^n  при F=100; d=0,07; n=153/365 =97,038$  Владелец векселя получит 97 038 руб.

Задача 5. Вклад в размере 20 тыс. руб. помещен в банк на 5 лет, причем преду-смотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке : в первые 2 года –16%, в следующие 2 года - 19%, в оставшийся год- 23%. Определить наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же сумму?

Решение

По формуле

$$P=F\cdot\prod_{i=1}^{k}(1-d_{i})^{n_{i}}$$  при $d1 = 16%, d2 = 19%, d3 = 23%$ получаем:

$F=\frac{20}{(1-d)^2(1-0,19)^2(1-0,23)}=56,106$

Наращенная сумма равна 56106 руб. Постоянную годовую учетную ставку $d,$ дающую тот же результат, находим из равенства:

$(1-d)^5=(1-0,16)^2(1-0,19)^2(1-0,23)$

$d=0,1864$

Постоянная ставка, которая дает тот же результат, равна 18,64% годовых.

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1. Вексель на сумму 800 тыс. руб. учитывается за 2 года до срока пога-шения. Какую сумму получит предъявитель векселя при учете по сложной учетной ставке 20% годовых?

Задача 2. Определите дисконтированную сумму при учете 100 тыс. руб. по простой и сложной учетной ставкам, если годовая ставка равна 18% годовых и учет происходит за 30 дней, 180 дней, 1 год, 3 года, 5 лет. Полагать год равным 360 дней.

  Сложные учетные ставки. Контрольные вопросы

% годовых ?

Задача 2. Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 4 млн. руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 1) 20% годовых; 2) 25% годовых.

Задача 3. Долговое обязательство было учтено по номинальной учетной ставке 32% годовых при полугодовом дисконтировании. За какое время до срока по-гашения было учтено обязательство, если его дисконтированная сумма соста-вила треть от суммы, которую нужно выплатить по этому обязательству?

Задача 4. Согласно финансовому соглашению банк начисляет по полугодиям проценты на вклады по сложной учетной ставке 28% годовых. Определить в виде простой учетной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении 1) на 3 месяца; 2) на год.