Определение. Множество $Q$ называется выпуклым, если для любых двух точек $x,y$ из множества $Q$  и любого $λ ∈ [0,1]$ точка $λx + (1 − λ)y$ также принадлежит множеству $Q$.

Другими словами, множество $Q$  называется выпуклым, если для каждой пары точек $x,y ∈ Q$, множество Q также содержит весь отрезок  $[x,y] := {λx+(1−λ)y : 0 ≤ λ ≤ 1}$.
Точка вида $λx+(1−λ)y$  для  $ λ ∈ [0,1]$  называется выпуклой комбинацией точек $x,y.$

Пример . Доказать выпуклость множества .

$$X=\left \{x=(x_1,x_2 ): x_1^2 \leq  x_2   \right \} $$

Пусть $x,y∈X$, т. е.  $ x_1^2≤x_2,y_1^2≤y_2$  . Тогда для любого $λ∈[0,1]$  имеем
$(λx_1+(1-λ) y_1 )^2=λ^2 x_1^2+(1-λ)^2 y_1^2+2λ(1-λ) x_1 y_1≤$
$≤λ^2 x_2+(1-λ)^2 y_2+2λ(1-λ) √(x_2 y_2 )≤$
$≤λ^2 x_2+(1-λ)^2 y_2+λ(1-λ)(x_2+y_2 )=λx_2+(1-λ) y_2$

. Следовательно,  $λx_2+(1-λ) y_2∈X,∀λ∈[0,1]$, , т. е. множество $X$  выпукло.