Одинаково распределённые слагаемые
Если в условиях ЗБЧ среднее арифметическое сходится по вероятности к a, то разность Sn/n - a сходится к нулю. Оказывается, что эта разность ведёт себя подобно величине (σ/√n)*η, где η —случайная величина со стандартным нормальным распределением. Иначе говоря, с ростом n распределение величины
![](/_bl/5/89893720.jpg)
становится всё более похожим на стандартное нормальное распределение.
Это утверждение и называется «центральной предельной теоремой».
Т е о р е м а (центральная предельная теорема). Пусть ξ1 , ξ2 , ... —
независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной
и ненулевой дисперсией σ2 и математическим ожиданием a.
Тогда для любых x < y имеет место сходимость при n → ∞
![](/_bl/5/s28457827.jpg)
Заметим, что дробь получилась стандртизацией величины Sn :
мы просто вычли из Sn её математическое ожидание ESn = na и поделили
эту разность на корень из дисперсии ![](/_bl/5/41488569.jpg)
Можно записать следующие приближённые равенства:
![](/_bl/5/s23040856.jpg)
П р и м е р 1. При составлении отчёта требуется сложить 10000 чисел,
каждое из которых округлено с точностью до 10−5 . Предположим, что ошибки, возникающие при округлении чисел, независимы и равномерно распределены в интервале (−0,5·10−5 , 0,5·10−5 ). Найти границы, в которых с вероятностью 0,99 будет лежать суммарная ошибка.
См. решение.
![](/_bl/5/s43402609.jpg)
Таблица функции Ф(х)
(функция распределения стандартного нормального закона)
![](/_bl/5/s53573961.jpg)
|