Одинаково распределённые слагаемые

 Если в условиях ЗБЧ среднее арифметическое   сходится по вероятности к a, то разность S_n/n - a  сходится к нулю. Оказывается, что эта разность ведёт себя подобно величине (σ/√n)*η,  где η —случайная величина со стандартным нормальным распределением. Иначе говоря, с ростом n распределение величины

становится всё более похожим на стандартное нормальное распределение.
Это утверждение и называется «центральной предельной теоремой».
Т е о р е м а  (центральная предельная теорема). Пусть ξ₁ , ξ₂ , ... —
независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной
и ненулевой дисперсией σ² и математическим ожиданием a.
Тогда для любых x < y имеет место сходимость при n → ∞

Заметим, что дробь  получилась стандртизацией величины S_n :
мы просто вычли из S_n её математическое ожидание ES_n = na и поделили
эту разность на корень из дисперсии

Можно записать следующие приближённые равенства:

П р и м е р 1. При составлении отчёта требуется сложить 10000 чисел,
каждое из которых округлено с точностью до 10⁻⁵ . Предположим, что ошибки, возникающие при округлении чисел, независимы и равномерно распределены в интервале (−0,5·10⁻⁵ , 0,5·10⁻⁵ ). Найти границы, в которых с вероятностью 0,99 будет лежать суммарная ошибка.

См. решение.

Таблица функции Ф(х) 

(функция распределения стандартного нормального закона)