По теме
Задача. Имеется пять различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Решение. Имеем испытания Бернулли с вероятностью успеха $p=15$
и с вероятностью неудачи $q=1−p=45$.
Испытания проводятся до появления первого успеха. Пусть случайная величина $X$
– число проведённых испытаний. Надо найти распределение случайной величины $X$.
Очевидно, что возможные значения $X$ - натуральные числа.
Событие ${X=k}$ означает, что сначала оказалось $k−1$
неудач, а в испытании с номером $k$
наступил успех. Испытания Бернулли независимы, поэтому
$P(X=k)=q^{k−1}p$
для $k=1,2,…$
Таким образом, получается геометрическое распределение.
Функция распределения
$F(x)=P(X⩽x)=P(X=1)+P(X=2)+⋯+P(X=⌊x⌋)=$
$=p+pq+⋯+pq^{⌊x⌋−1}=p\frac{1-q^x}{1-q}=1−q⌊x⌋=1-\left (\frac{1}{5} \right )^{x}$
Найдем матожидание $MX$. По определению
$MX=\sum_{n=1}^{\infty }n\cdot P(X=n)=\sum_{n=1}^{\infty}npq^{n-1}=p\sum_{n=1}^{\infty }nq^{n-1}$
Найдем сумму $S=1+2⋅q+3⋅q^2+…$
$qS=q+2⋅q2+3⋅q3+&he ... Смотреть решение »