Задача. На связке n ключей. Человек не знает, какой ключ из связки подходит для замка. Он перебирает их по-очереди. Какова вероятность того, что за m попыток он это сделает?

Решение. Если ключи занумерованы фиксированным случайным образом, то вероятность того, что заданный ключ открывает дверь, равна $1/n$. Пусть $Ai$ -- случайное событие, состоящее в том, что $ i-й $ключ подходит. Оно имеет вероятность $1/n$. Если мы делаем m попыток, беря первые m ключей, то мы имеем дело с объединением событий вида $Ai$, где где $1≤i≤m$. Они попарно не пересекаются, так как "правильный" ключ всего один. Значит, вероятность открыть дверь за m попыток равна сумме этих вероятностей, то есть $m/n$.