Объем тела вращения

Вычисление объема тела вращения вокруг оси Ох

Пусть график функции y = f(x) вращается вокруг оси Ox, образуя так называемую поверхность вращения. Определим объем тела, ограниченного этой поверхностью и плоскостями x = a, x = b.

Объем тела вращения, образованного вращением графика y=f(x) вокруг оси Ox, может быть вычислен по формуле

Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением дуги кривой y=x², x∈[1,3] вокруг оси Оx.

Решение. Данные a=1, b=3,  f(x)=x², подставляем в формулу, получаем

С помощью калькулятора проверяем правильность вычисления объема , а также получаем рисунок тела вращения.

Вычисление объема тела вращения вокруг оси Оy

Пусть график функции x=φ(y) вращается вокруг оси Oy, образуя так называемую поверхность вращения. Определим объем тела, ограниченного этой поверхностью и плоскостями y = c, y = d.

Объем тела вращения, образованного вращением графика x=φ(y) вокруг оси Oy, может быть вычислен по формуле

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением дуги кривой x=3y-y², x∈[1,2] вокруг оси Оx.

Решение. Данные c=1, d=2,  φ(y)=3y-y², подставляем в формулу, получаем

В калькулятор вставляем функцию x=3y-y²,  x меняем на y, границы  от 1 до 2, проверяем правильность вычисления объема , а также получаем рисунок тела вращения.

Следующая тема: Вычислить длину кривой