Вероятностные неравенства

Т е о р е м а  (неравенство Маркова). Для любого x > 0

См. доказательство.

Грубая оценка случайной величины

Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.

 

Пример 1. В среднем ученики опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут? Дайте грубую оценку сверху.

Решение. 

 

... Смотреть решение »

Формулировка "парадокса"  Монти Холла:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Решение. Сразу же заметим, данная задача никакого парадокса не содержит. Обычная задача (начальный уровень) на формулу Байеса, которая вытекает из определения условной вероятности.

Формула Байеса

Обозначим через А, событие – вы выиграли авто.

Выдвигаем две гипотезы: H₁– вы не меняете дверь, и H₂ - меняете дверь.

P(H₁)= 1/3 – априорная (априорная – значит до проведения опыта, ведущий ... Смотреть решение »

Задача. Точка (c,q) наудачу выбирается из квадрата с вершинами (-1,-1), (1,-1), (1,1), (-1,1). Найдите вероятность, что корни уравнения x^2+cx+q=0, будут действительные.

Решение. Условием того, что корни квадратного уравнения x^2+cx+q=0 будут действительные является дискриминант D=c^2-4q≥0.

Изобразим графически
Следовательно, при попадании в заштрихованную область, корни уравнения де ... Смотреть решение »