Байесовская стратегия

Пусть нам известны вероятности состояний природы $q_1 = P(B_1), q_2 = P(B_2), ..., q_n = P(B_n),$ где  $\bar{a_i}=\sum_{j=1}^{n}q_j=1.$ В этом  случае в качестве показателя эффективности, который максимизируется, берется математическое ожидание выиграша, т. е.

а показателя, который минимизируется, - математическое ожидание риска, т. е.

с учетом вероятностей всех возможных условий.

         Пример. Компания "Технодром" с целью привличения покупателей планирует приведение ярмарки на открытом воздухе. Согласно архивным материалам метеосводок за много лет, можно выделить четыре типа метеорологических условий: зной, дождь, комфортно и холодно с вероятностями их наступления  $\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{2}  и  \frac{1}{10}$ соответственно. В зависимости от погодных условий ярмарку смргут посетить различные категории людей, поэтому компания  выбирает оди из трех вариантов  проведения ярмарки: выставить полный, частичный или сокращенный ассортимент. Данные о доходах от проведения ярмарки приведены в таблице. Какие рекомендации может дать менеджер руководству компании?

Таблица 1.

         Решение

          Вычислим средний доход $\bar{a_i},$ соответствующий выставленному компанией ассортименту товаров по формуле (1), получим

$$\bar{a_1}=6\cdot 0,2+5\cdot 0,2+9\cdot 0,5+2\cdot 0,1=6,9$$

$$\bar{a_2}=2\cdot 0,2+3\cdot 0,2+6\cdot 0,5+8\cdot 0,1=4,8$$

$$\bar{a_3}=3\cdot 0,2+2\cdot 0,2+7\cdot 0,5+5\cdot 0,1=5$$

     Таким образом, наибольший средний доход компании получит в случае проведения выставки с полным ассортиментом.

      Оценим риск компании в данных условиях. Составим матрицу рисунков, получим таблицу 2.

Таблица 2.

      Найдем средний риск $\bar{r_i}$ в соответствии с представленным ассортиментом по формуле (2), получим

$$\bar{r_1}=0,2\cdot 0+0,2\cdot 0+0,5\cdot 0+0,1\cdot 6=0,6$$

$$\bar{r_2}=0,2\cdot 4+0,2\cdot 2+0,5\cdot 3+0,1\cdot 0=2,5$$

$$\bar{r_3}=0,2\cdot 3+0,2\cdot 3+0,5\cdot 2+0,1\cdot 3=2,5$$

    Таким образом, миниальный риск соответствует первой стратегии.

    Значит,менеджер может рекомендовать руководству выставить на выставку полный ассортимент товаров.

    Замечание. Вообще говоря, средний риск обращается в минимум тогда же, когда средний доход обращается в максимум. Действительно, так как

$$\bar{a_i}+\bar{r_i}= \sum_{j=1}^{n}p_ja_{ij}+\sum_{j=1}^{n}p_j(a_j-a_{ij})=\sum_{j=1}^{n}p_ja_j=const,$$то $\bar{a_i}=const-\bar{r_i},$ и средние величины достигают своих экстремальных значений одновременно.

Стратегия Вальда

      Согласно этому критерию в качестве оптимальной выбирается та стратегия игрока, при которой минимальный выигрыш максимален, т.е. игроку гарантируется выигрыш не меньший, чем нижняя цена игры с природой

$$\alpha = \underset{1\leq i\leq m1\leq j\leq n}{maxmin}a_{ij}$$

      Замечание. Стратегию Вальда обычно называют стратегией «край-
него пессимизма», так как в результате рассмотрения стратегий выбирается тот образ действий, при котором складывается самая худшая ситуация.
       В примере  он соответствует любой из стратегий, так как во всех трех случаях нижняя цена достигается и равна 2.