Предположим, что в распоряжении игрока имеется $m$ стратегий $A_1,A_2,..., A_m, $ а у природы предполагается наличие $n$ возможных состояний $B_1, B_2, ..., B_n.$

      Игры с природой отличаются от стратегических игр тем, что природа может реализовать любое свое состояние независимо от действий игрока. Поэтому применение смешанных стратегий имеет весьма ограниченный характер, т.е. не всегда можно найти для них интерпретацию для использования в реальной обстановке. Таким образом, более естественным в играх с природой являются рекомендации для игрока, основанные на дополнительной информации и с использованием различных критериев.

        Определение 1. Пусть $P=(a_{ij})$ - платежная матрица игры, а $$a_j=\max_{1\leq i\leq m}a_{ij}$$ . Матрица

$$R=\begin{pmatrix}
r_{11} &r_{12}  &...  &r_{1n} \\
r_{21} &r_{22}  &...  &r_{2n} \\
... &...  &...  &... \\
r_{m1} &r_{m2}  &...  &r_{mn}
\end{pmatrix}$$

где $r_{ij}=a_j-a_{ij}\;  (i=\overline{1,m;\; }\;j=\overline{1,n}),$  называется матрицей  рисков.

       Замечание. Матрица рисков отражает величину прибыли, которую игрок рискует недополучить в случае принятия того или иного решения.

                        Матрицы последствий и матрицы рисков.

Понятие риска предполагает наличие рискующего; будем называть его Лицом, Принимающим Решения (ЛПР). Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции в условиях неопределенности. При этом у ЛПР есть несколько возможных решений i = 1,2,...,m, а реальная ситуация неопределенна и может принимать один из вариантов j = 1,2,...,n. Пусть известно, что если ЛПР примет i-e решение, а ситуация примет j-ый вариант, то будет получен доход $q_{ij}.$

Матрица   $\mathbb{Q}=(q_{ij})$  называется матрицей последствий (возможных решений).

Оценим размеры риска в данной схеме. Пусть принимается i-e решение. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет j-я,то ЛПР принял бы решение, дающее доход $$q_i=\max_iq_{ij}.$$

Однако, i-е решение принимается в условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить не qj , а только qij. Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск rij, размер которого целесообразно оценить как разность $$r_{ij}= q_j-q_{ij}$$ Матрица $R=(r_{ij})$   называется матрицей рисков.

Пример 2 Используя формулу , составте матрицу рисков  $R = (r_{ij})$ по заданной матрице последствий

$$Q=\begin{pmatrix}
5 &2  &8  &4 \\
2 &3  &4  &12 \\
8 &5  &3  &10 \\
1 &4  &2  &8
\end{pmatrix}$$

Решение.  Очевидно, $$q=\max_{i}q_{ij}=8;$$ аналогично $q_2=5, q_3=8, q_4=12.$

Следовательно,матрица рисков имеет вид $$R=\begin{pmatrix}
3 &3  &0  &8 \\
6 &2  & 4 &0 \\
0 &0  &5  &2 \\
7 &1  &6  &4
\end{pmatrix}$$