закон больших чисел Бернулли

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведе-
ние среднего арифметического случайных величин с произвольными распре-
делениями, ЗБЧ Бернулли—утверждение только для схемы Бернулли.

Т е о р е м а (ЗБЧ Бернулли). Пусть ν_n —число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

Тогда   При этом для любого ε > 0

или в эквивалентной форме

См. доказательство.

П р и м е р 1. Правильная монета подбрасывается 10000 раз. Оценим
вероятность того, что число гербов отличается от 5000 менее, чем на 100.
Пусть ν_n —число гербов, выпавших в n = 10000 испытаниях. Нужно
оценить вероятность события.

См. решение.

Пример 2. Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.

Решение. Для оценки события применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где

 

Пример 3. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , , . Подставим в правую часть вышеприведенного неравенства эти значения

.

Ответ: .

Пример 4. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , . В качестве Р возьмем величину, полученную при проверке для доли брака .

Итак, .

Ответ: .