Законы больших чисел

Законами больших чисел (ЗБЧ) принято называть утверждения о том,
при каких условиях среднее арифметическое случайных величин «стабилизируется» с ростом числа слагаемых. Всюду, где будут встречаться одинаково
распределённые случайные величины ξ i , число a = Eξ₁ будет обозначать их
(у всех одинаковое) математическое ожидание, σ² —их дисперсию.

Т е о р е м а  (ЗБЧ Чебышёва). Для любой последовательности
ξ₁ , ξ₂ , ... независимых и одинаково распределённых случайных величин
с конечной дисперсией имеет место сходимость:

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа одинаково
устроенных случайных слагаемых сближается со средним значением одного
слагаемого. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от
своего математического ожидания, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной
величине.

См. доказательство.

Замечание 3. Мы не только доказали сходимость, но и получили оценку для вероятности среднему арифметическому любого числа независимых
и одинаково распределённых величин отличаться от a = Eξ₁ более чем на
заданное ε:

Пример 1. За значение некоторой величины принимают среднеарифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднеквадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

Решение. σ=5мм, ε=0,5 мм

Запишем неравенство

в эквивалентной форме

Получаем оценку вероятности