Разбор задачиМатематический анализ

второй замечательный предел (примеры) | Найти предел | Примеры решений задач

Пример. Найти предел функции Решение. Способ 1. Преобразуем выражение к экспоненте в сложной степени и вычислим предел, к которому стремится показатель степени. Рассмотрим…

Ещё по теме Все материалы →

Оценка задания

Нужно решить свой вариант?

Напишите условие, требования и срок — скажем стоимость и когда сможем сделать.

Условие и материал

Пример. Найти предел функции

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}$

Решение.

Способ 1. Преобразуем выражение к экспоненте в сложной степени и вычислим предел, к которому стремится показатель степени.

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2-x+1}} \right )^{3x+4}=$

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }e^{(3x+4)\ln \left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1}} \right )$

$\dpi{100} = A$

Рассмотрим

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\ln A=\lim_{x \to \infty }(3x+4)\left ( \ln \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1}\right )=\lim_{x \to \infty }(3x+4)\ln \left ( 1+\frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )=$

Используем, что $\dpi{100} \ln (1+z)$ при $\dpi{100} z\rightarrow 0$ . Здесь

$\dpi{100} \frac{x}{3x^{2}-x+1}\rightarrow 0, x \to \infty$

так как старшая степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Поэтому

$\dpi{100} =\lim_{x \to \infty }(3x+4)\frac{x}{3x^{2}-x+1}=1, \Rightarrow A=e^{1}=e.$

Способ 2.

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}=\lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1-x+x}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}=$

$\dpi{100} =\lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )^{\left ( \frac{3x^{2}-x+1}{x} \right )\left ( \frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )(3x+4)}=$

Используем второй замечательный предел $\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e.$

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{x(3x+4)}{3x^{2}-x+1} \right )}=\lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{3x^{2}+4x}{3x^{2}-x+1} \right )}=\lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{3+4/x}{3-1/x+1/x^{2}} \right )}=e^{1}=e.$

Получить полное решение, а также проверить правильность решения можно с помощью калькулятора "решение пределов"

Ваше задание

Нужно решить похожую задачу?

Напишите условие или укажите номер варианта. Посмотрим задачу и скажем стоимость и срок.

Оценка задания

Рассчитать стоимость

Выберите вид работы и опишите, что нужно сделать.

второй замечательный предел (примеры) | Найти предел | Примеры решений задач

Нужно решить свой вариант?

Условие и материал

Нужно решить похожую задачу?

Рассчитать стоимость

Ещё полезные материалы

Решение пределов числовых последовательностей

Предел функции lim

Доказать, что функция

Вычислить предел | Решение задач

Сколькими способами они могут распределить

Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя - решение задач - Решение задач по математике

Нужен быстрый разбор? Спросите StudentSOS