второй замечательный предел (примеры) | Найти предел

Меню сайта

Новые материалы

Графический метод

Динамическое программирование

Выпуклые множества

Решение задач по термодинамике

Сложные учетные ставки

Сложные ссудные ставки

Простые учетные ставки

Определить прибыль организации в плановом периоде

Байесовская стратегия

Принятие решений в условиях неопределенности

Статистика

Онлайн всего: 6

Гостей: 6

Пользователей: 0

Контрольные

Заказать решение в авторском исполнении

Сейчас смотрят

Калькулятор для исследования функций

Как найти площадь фигуры ограниченной линиями онла...

Решение тригонометрических уравнений онлайн

Решение логарифмических уравнений онлайн

скнф и сднф

Изменить порядок интегрирования в двойном интеграл...

Найти частные производные

Найти экстремум функции

калькулятор сходимости рядов

Решение двойных интегралов онлайн

решение показательных уравнений

Калькулятор решения пределов

Решение дифференциальных уравнений онлайн

Главная » Примеры решений задач » Найти предел

14:08

второй замечательный предел (примеры)

Пример. Найти предел функции

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}$

Решение.

Способ 1. Преобразуем выражение к экспоненте в сложной степени и вычислим предел, к которому стремится показатель степени.

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2-x+1}} \right )^{3x+4}=$

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }e^{(3x+4)\ln \left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1}} \right )$

$\dpi{100} = A$

Рассмотрим

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\ln A=\lim_{x \to \infty }(3x+4)\left ( \ln \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1}\right )=\lim_{x \to \infty }(3x+4)\ln \left ( 1+\frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )=$

Используем, что $\dpi{100} \ln (1+z)$ при $\dpi{100} z\rightarrow 0$ . Здесь

$\dpi{100} \frac{x}{3x^{2}-x+1}\rightarrow 0, x \to \infty$

так как старшая степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Поэтому

$\dpi{100} =\lim_{x \to \infty }(3x+4)\frac{x}{3x^{2}-x+1}=1, \Rightarrow A=e^{1}=e.$

Способ 2.

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}=\lim_{x \to \infty }\left ( \frac{3x^{2}+1-x+x}{3x^{2}-x+1} \right )^{3x+4}=$

$\dpi{100} =\lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )^{\left ( \frac{3x^{2}-x+1}{x} \right )\left ( \frac{x}{3x^{2}-x+1} \right )(3x+4)}=$

Используем второй замечательный предел $\dpi{100} \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e.$

$\dpi{100} \lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{x(3x+4)}{3x^{2}-x+1} \right )}=\lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{3x^{2}+4x}{3x^{2}-x+1} \right )}=\lim_{x \to \infty }e^{\left ( \frac{3+4/x}{3-1/x+1/x^{2}} \right )}=e^{1}=e.$

Получить полное решение, а также проверить правильность решения можно с помощью калькулятора "решение пределов"

Поможем с решением ваших задач и контрольных!

Категория: Найти предел | Просмотров: 3904 | Добавил: Admin | Теги: найти предел, вычислить предел | Рейтинг: 0.0/0

Похожие материалы:

Всего комментариев: 0