Эксцентриситет эллипса, вершины эллипса, координаты фокусов

Определение. Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Внешний вид уравнения какого-либо геометрического места точек зависит от взаимного расположения этого множества точек и декартовой системы координат.

Выберем прямоугольную систему декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через оба фокуса F₁ и F₂, начало координат находится в середине отрезка F₁F₂ (рис. 7). Если обозначить расстояние между фокусами F₁ и F₂ через 2с, тогда координаты фокусов будут соответственно (-с, 0) и (с, 0).

Пусть М(х, у) - текущая точка эллипса (рис. 7).

Обозначим сумму расстояний F1M и F2M через 2а (a > c по правилу треугольника), т.е. , или

Уравнение (36) и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простой для исследований форме:

Поскольку a > c, то можно обозначить

тогда получаем

Окончательно получим (при выбранной системе координат) уравнение

Уравнение (38) называют каноническим уравнением эллипса. ... Смотреть решение »

Эксцентриситетом гиперболы, вершинами гиперболы, директрисами гиперболы.

Определение. Гипербола есть геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Расстояние между фокусами F₁ и F₁ обозначим 2c. Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса (рис. 10).

Из определения имеем

следовательно, a > c. Опуская вывод, запишем уравнение гиперболы

 

Уравнение (40) называют каноническим уравнением гиперболы. Число а называют действительной полуосью гиперболы, число b - мнимой полуосью.

Отметим, что согласно уравнению (40) гипербола симметрична относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат. Т.к. из канонического уравнения гиперболы следует, что

то нет точек кривой в полосе -a > x > a.

... Смотреть решение »

Фокус параболы, директриса параболы, параметром параболы, эксцентриситет параболы

Определение. Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через точку фокуса F перпендикулярно директрисе L, начало координат расположим в середине отрезка FN (рис. 11).

Расстояние между фокусом F и директрисой L обозначим р. Значение р называют параметром параболы.

Пусть M(x, y) - текущая точка параболы, тогда, по определению параболы имеем или отсюда получаем

Уравнение (41) называют каноническим уравнением параболы.

Вершина параболы находится в начале координат, и кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 11).

Замечание. Если для эллипса и гиперболы обозначим через r расстояни ... Смотреть решение »