Пример 1. Исследовать уравнение кривой x² + 4y² + 2x - 8y = 0. Определить тип линии, координаты центра, полуоси, эксцентриситет, уравнение директрис. Построить кривую.

Решение. Выделяем полный квадрат:

Следовательно, тип линии – эллипс:

Координаты центра: (-1;1)

... Смотреть решение »

Будем рассматривать объекты на координатной плоскости Оху и рассматривать уравнения с двумя неизвестными, полагая, что третья координата z всегда равна нулю. Линии, как и поверхности, подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определение. Линия называется алгебраической, если ее уравнение в декартовой системе координат имеет вид

где F(xy) - многочлен степени n относительно переменных х, у.

Степень этого многочлена называют порядком алгебраической линии. Например, прямая линия на плоскости есть алгебраическая линия первого порядка.

Линии, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными

В этом параграфе будем рассматривать алгебраические линии второго порядка. Самое общее уравнение алгебраической линии второго порядка имеет вид

здесь множитель 2 в некоторых коэффициентах введен лишь для удобства некоторых выкладок в дальнейшем. Из последующего материала будет ясно, что любая линия 2-го порядка представляет собой либо эллипс (окружность, как его частный случай), либо гиперболу, либо параболу, либо какой-нибудь случай их "вырождения". Дадим определения этих ... Смотреть решение »

Центр окружности, радиус окружности
Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности (рис. 6).

Пусть центр окружности находится в точке С(а, b). Т.к. окружность есть множество точек М(х, у), находящихся на расстоянии R (радиус окружности) от центра С(а, b), то , то есть

Уравнение (35) и есть каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а, b) и радиусом R.