Мы рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат (рис.12).

Пусть Оху - "старая" система координат, а О'х'у' - "новая" система координат. Пусть произвольная точка Мимеет координаты (х, у) в "старой" системе, и она же имеет координаты (х', y')в новой системе, кроме того, пусть новое начало O' имеет координаты (а, b) в "старой" системе (рис. 12).

Тогда

Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.

Следовательно, имеем

Формулы (42) есть формулы перехода, связывающие "старые" и "новые" координаты.

Сейчас мы рассматриваем преобразование, заключающееся в повороте координатных осей с сохранением начала координат (рис. 13).

Пусть точка М имеет координаты (х, у) в "старой" системе и координаты (х,' у')в "новой" системе, α - угол поворота осей координат, отсчитываемый в положительном направлении от "старой" оси Ох. В данном случае происходит изменение базиса на базис

Запишем координаты векторов и в базисе

т.е., мы получили или, в матричной форме

Формулы (43), (44) выражают "старые" координаты через "новые".

Обозначим матрицу

Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

коэффициент которого a'₁₂ будет равен

Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :