Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид:

Если в уравнении (50) , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа;
если же , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'₁₁ или a'₂₂ равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа.

Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду:

Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если a'₁₁ и a'₂₂ одного знака, а a"₀ противоположного),
либо мнимое место точек (если a'₁₁, a'₂₂, a"₀ имеют один знак),
либо одну точку (если a'₁₁ и a'₂₂ имеют один знак, а a"₀ = 0),
либо гиперболу (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ ≠ 0),
либо две пересекающие прямые (если a'₁₁ и a'₂₂ разных знаков и a"₀ = 0).

Если же в уравнении (50) один из коэффициентов a'₁₁ и a'₂₂ , например, a'₂₂ обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы при a'₂₂ ≠ 0 или к виду при a'₂₂ = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек.

Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".

Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 29x² - 24xy + 36y² + 82x - 96y - 91 = 0 и сделать чертеж.

Решение. Здесь a₁₁ = 29, a₁₂ =-12, a₂₂ = 36.

Поэтому

И формулы преобразования координат запишутся в виде:

Подставляем выражения "старых" координат через "новые" в исходное уравнение кривой и, проделав достаточно громоздкие, но простые преобразования, получаем:

Введем новые координаты и в этих координатах уравнение примет вид