Определение. Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Внешний вид уравнения какого-либо геометрического места точек зависит от взаимного расположения этого множества точек и декартовой системы координат.

Выберем прямоугольную систему декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через оба фокуса F₁ и F₂, начало координат находится в середине отрезка F₁F₂ (рис. 7). Если обозначить расстояние между фокусами F₁ и F₂ через 2с, тогда координаты фокусов будут соответственно (-с, 0) и (с, 0).

Пусть М(х, у) - текущая точка эллипса (рис. 7).

Обозначим сумму расстояний F1M и F2M через 2а (a > c по правилу треугольника), т.е. , или

Уравнение (36) и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простой для исследований форме:

Поскольку a > c, то можно обозначить

Окончательно получим (при выбранной системе координат) уравнение

Уравнение (38) называют каноническим уравнением эллипса.

Замечание. Т.к. в процессе преобразований дважды возводились в квадрат обе части уравнения, то необходимо проверить, не получены ли "лишние" точки. Для этого нужно показать, что если координаты произвольной точки M₀(x₀, y₀) удовлетворяют уравнению (38), то

Эта задача предлагается студентам для самостоятельного решения.

Сделаем некоторые замечания о форме эллипса. Из уравнения (38) понятно, что оси координат Ох и Оу являются осями симметрии эллипса и, следовательно, начало координат является центром симметрии эллипса.

Рассмотрим часть эллипса, расположенную в первой четверти, для которой можем записать уравнение (38) в виде:

Числа а и b называют полуосями эллипса.

Учитывая симметрию эллипса относительно осей координат, можем построить полный эллипс (рис. 9).

Если изменяется величина с, то меняется форма эллипса, а именно: если и при c = 0 эллипс становится окружностью с уравнением

Т.о., окружность есть частный случай эллипса, когда полуоси эллипса равны между собой. Если же , то , т.е. эллипс сжимается вдоль оси Оу.
Величина может служить числовой характеристикой сжатия эллипса.
Число называют эксцентриситетом эллипса.
Две прямые называются директрисами эллипса.
Точки пересечения эллипса с осями симметрии называют вершинами эллипса.