Задача 2. Все студенты курса изучают иностранные языки: 91 студент изучает английский язык, 96 студентов изучают немецкий язык, 94 сту-дента изучают французский язык, 36 студентов изучают английский и немецкий языки, 32 студента изучают английский и французский языки, 10 студентов изучают все языки. Сколько студентов изучают немецкий и французский языки, если в курсе учатся 189 студентов?

Решение. Введем обозначения:
$A$ – множество всех студентов курса;
$A_1$ – множество студентов, изучающих английский язык;
$A_2$ – множество студентов, изучающих немецкий язык;
$A_3$ – множество студентов, изучающих французский язык;
$A_{12}$ – множество студентов, изучающих английский и немецкий языки;
$A_{13}$ – множество студентов, изучающих английский и французский языки;
$A_{23}$ – множество студентов, изучающих немецкий и французский языки;
$A_{123}$ – множество студентов, изучающих все языки;
$|B| $– количество элементов множества $B$.

По условию задачи:
$$|A|=189, \:|A_1|=91,\: |A_3|=94,\:|A_{12}=36,\:|A_{13}=32,\: |A_{23}=x.$$
Найдем $x$ – количество студентов, изучающих немецкий и французский языки.
Согласно введенным обозначениям имеем:
$$A_{12} =A_1 \cap A_2,\:A_{13}=A_1 \cap A_3,\:A_{23}=A_2 \cap A_3,$$
$$A_{123}=A_1 \cap A_2 \cap A_3.$$< ... Смотреть решение »

Объединение множеств

• Объединением или суммой n множеств A_¹ , A₂ , …, A_n называется множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из этих n множеств : A = A₁ U A₂ U… U A_n где знак U обозначает операцию объединения множеств .

Формально операция объединения множеств определяется следующим образом :

A = {x / x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ … ∨ x ∈ A_n },

где ∨ — логический знак , обозначающий союз ИЛИ . Читается эта запись так : множество А — это все те значения х , которые принадлежат множеству А₁ , или множеству А₂ , или множеству А₃ и так далее до множества А_п .

Для выполнения операции объединение множеств имеется калькулятор операций над множествами.

Например , пусть даны множества : A_{1 ... Смотреть решение »}

Универсальное множество

• Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества ( иногда используется термин «полное множество» , а также «универсум» .
  • Обозначается оно обычно символом I ( либо U). Множество I — это множество всех тех элементов , которые участвуют в данном рассуждении . Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества .

Например , если рассматриваются различные множества целых положительных чисел за исключением нуля , то универсальным можно считать множество всех натуральных чисел.

На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников , внутри которых размещаются круги , обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств .

На рис.3 показан пример универсального множества I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и двух его подмножеств P = {2} и Q = {2, 3, 5, 7), где P — множество четных простых чисел , а Q — множество всех простых чисел , меньших 10.

... Смотреть решение »