Равенство множеств

Пример.  Даны множества:
а) К = {у| у = 1, если у ∈ N, то у + 1 ∈ N}, У = {у|∈ у  Z, у > 0};
б) К = Ø, У = {Ø};
в) К = {с, п, р}, У = {{с, п}, р }.
Равны ли множества К и У?

Решение:

а) Данные множества равны (К=У), т.к. любой элемент у из множества
К принадлежит и множеству У, и, наоборот, любой элемент у из множества У
принадлежит множеству К;

б) Нет не равны, т.к. множество К пустое, а множество У состоит из
одного элемента (пустого множества);

в) Нет не равны, т.к. множество К состоит из трех элементов, а
множество У – из двух. Причем два элемента из множества К (с и п) не
принадлежат множеству У, а элемент из множества У (множество {с, п}) не
принадлежит множеству К.

Пояснение: Множества равны, если они содержат одни и те же элементы.

Пусть A и B — некоторые множества.

Говорят, что A равно B, и пишут A=B, если ∀ x: x∈ A⇔ x∈ B.

Иначе говоря, A=B⇔ A⊆ B и B⊆ A.

Пример 1. Задайте множество другим способом (если это возможно):

а) А = {х| x∈N, х ≤ 9};

б) А = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4};

в) А = {х| x∈ R, х² – 3 = 0}.

 Решение:

а) Элементами множества А являются натуральные числа,
которые меньше 9 и само число 9, значит, А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
б) А = {х| x ∈ Z, |x| ≤ 4} – множество целых чисел, модуль которых не
больше четырех;
в) Элементами множества А являются корни уравнения х² – 3 = 0,
значит, А = {- 3 ,  3 }.

Пример 2. Задайте числовое множество описанием характеристического
свойства элементов:

а) (0; 11); б) [-12,3; 1,1); в) [-5; 3]; г) (- ∞; -102,354].
Решение:
а) А = {х| x ∈ R, 0 < х <11};

б) С = {х| x ∈ R, -12,3 ≤ х < 1,1};
в) А = {х| x ∈ R, -5 ≤ х ≤ 3};

г) Р = {х| x ∈ R, х ≤ -102,354}.

Пояснение: Что такое ха ... Смотреть решение »

Пример. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера высказывание: «Все
учащиеся 5 класса присутствовали на школьной спартакиаде».

Решение. Выделим множества, о которых идет речь в высказывании:
это множество учащихся некоторой школы (обозначим его за А),

и множество учащихся 5 класса (обозначим его В).

В данном высказывании утверждается, что все элементы множества В являются также и элементами множества А.

По определению отношения включения это означает, что В ⊂ А. Поэтому множество В надо изобразить внутри круга, изображающего множество А.

Калькулятор кругов Эйлера на странице диаграммы Эйлера-Венна онлайн.