Операции над множествами

• Объеденением множеств $A$ и $B$ называется множество $$A∪B=\left \{ x|(x∈A)∨(x∈B)\right \}$$
• Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество $$ A∩B=\{x|(x∈A)∧(x∈B)\} $$
• Множество, стостоящее из всех элементов множества $A$, не принаждлежащих множеству $B$, называется разностью множеств $A$ и $B$: $$ A\setminus B=\{x|(x\in A)\wedge (x\notin B)\}.$$
  • Если $A⊂B$ , то $B\setminus A$ называют дополнением множества $A$ до множства $B:A'_B.$ 
  • Если, в частности, $A−$ подмножество некоторого универсального множества $U$, то разность $ U\setminus A $ обозначается символом $\bar{A}$ или $A′$ и называется дополнением множества $A$ (до множества $U$).

 

• Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называют множество $AΔB$, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B$, то есть $$ AΔB=(A ∖ B)∪(B ∖ A). $$

 

Примеры операций над множествами

Пример 1. Даны множества $A=\{3,5,7,8,9\}$ и $B=\{2,3,7,8, 10\}$

Найти:  $ A ∩ B $,   $ A ∪ B $ ,   $ A & ... Смотреть решение »

Круги Эйлера, диаграммы Венна

Геометрическое моделирование множеств. Калькулятор.

Для наглядного представления множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество,  –  в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга.

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.

... Смотреть решение »

Декартово произведение множеств

Пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что а∈А, b∈В. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

• Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А×В. Таким образом А×В = {(x;y) | x∈A, y∈B}. Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.
  • Пример. Известно, что А×В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

... Смотреть решение »