Декартово произведение множеств

Пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что а∈А, b∈В. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

• Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А×В. Таким образом А×В = {(x;y) | x∈A, y∈B}. Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.
  • Пример. Известно, что А×В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Количество пар в декартовом прoизведении А×В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(А×В)=n(A)×n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента. Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

• Определение. Декартовым произведением множеств А¹, А²,…, Aⁿ называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А¹, вторая – А², …, n-ая – множеству Аⁿ
  • Пример.Пусть даны множества А¹={2, 3}; А²={3, 4, 5}; A³={7, 8}. Декартово произведение А¹×А²×А³={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.