Объединение множеств

• Объединением или суммой n множеств A_¹ , A₂ , …, A_n называется множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из этих n множеств : A = A₁ U A₂ U… U A_n где знак U обозначает операцию объединения множеств .

Формально операция объединения множеств определяется следующим образом :

A = {x / x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ … ∨ x ∈ A_n },

где ∨ — логический знак , обозначающий союз ИЛИ . Читается эта запись так : множество А — это все те значения х , которые принадлежат множеству А₁ , или множеству А₂ , или множеству А₃ и так далее до множества А_п .

Для выполнения операции объединение множеств имеется калькулятор операций над множествами.

Например , пусть даны множества : A₁ = {a, b, c}; A₂ = {4}; A₃ = {b, 54}. Применив к ним операцию объединения , получим новое множество A = A₁ U A₂ U A₃  = {a,b,c,4,54}. Заметим , что b ∈ A₁ и b ∈ A₃ , однако в множество A элемент b входит только один раз ( вспомним : все элементы множества должны быть различными ).

На диаграммах Венна (калькулятор) объединение множеств обозначают сплошной штриховкой областей, соответствующих этим множествам:

• На рис . 5 заштрихована область множества  Q U P ,
• На рис . 6 показана штриховкой область множества (P U Q) U R .
• На рис . 7 изображено три множества P, Q и R . Штриховкой отмечено множество Q U R.

Операция объединения множеств обладает следующими свойствами :

а)  объединение коммутативно :

A U B = B U A ;

A U B U C =  A U C U B =  B U A U C  и т.д .;

б)  объединение ассоциативно :

(A U B) U C =  A U (B U C) = A U B U C.

(Благодаря ассоциативности при записи нескольких множеств ,  соединенных знаком объединения ,  скобки можно не использовать) ;

в)  если B ⊆ A  или B ⊂ A,  то A U B = A.

На рис . 8 приведена диаграмма Венна для случая ,  когда B ⊂ A.

Штриховкой отмечена область множества A,  которая

одновременно относится и к множеству A U B  .

• Из свойства « в »  следует , что :

1. A U A = A ;
2. A U A = ∅ ;
3. A U I =  I.

Упражнения

1. Найдите элементы множества A U B , если

A = {a, b, c}; B = {b, c, d}.

2. Найдите элементы множеств :  сначала A, затем — A₁ ,  после этого — A₂ ( числа упорядочить по возрастанию ),  если A = {x / x ∈ I ∧(x ∈ A₁  ∨ x ∈ A₂ );  A₁ ⊂ I —  множество чисел ,  кратных трем ; A₂ ⊂ I —  множество чисел ,  кратных четырем }; I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

3. Дано три множества A, B, C.  Известно ,  что a ∈ A. Укажите все верные утверждения :

а) a ⊂ B;                   е) {a} ∈ B;

б)  a ∈ A U B  ;        ж)  {a}⊆ A U B ;  

в)  a ⊂ B U C  ;         з)  {a} ∈ B U C ;  

г)  a ∈ A U B U C;   и)  {a}⊆ A U B U C  

д) {a} ⊆ A

Ответы:  б), г), д), ж), и) – истинно.

4. На рис . 9  приведена диаграмма Венна для трех множеств .  Найдите элементы множеств A U B , затем —  A U C.

5. Перечислите элементы множества M ( рис . 9):

M = {x / x ∉ A ∧ x ∈ I}.

6. Перечислите элементы множества N ( рис . 9):

N = {x / x ∈ A U B , x > 4}.

7. Перечислите элементы множества K,  если

K = {x / x ∈  A U B U C , x —  четное число }( рис . 9).

8. Перечислите элементы множества T ( рис . 9):

T = {x / x ∉ A U C,  x ∈ I }.

9. Найдите кардинальное число множества A U B ,

если A = {a, b, c};  B = {6, 7, 8, 9}.

Ответ: | A U B| = 7

10. Найдите кардинальные числа множеств

A U B, A U C, B U C по диаграмме Венна ( рис . 10).

11. Найдите кардинальное число множества A U B , если

A = {1, 2, 3, 4};  B = {2, 3, 4, 5}.

Ответ: | A U B| = 5

12. Найдите кардинальное число множества A U B , если A = {∅};  B = {a, b, c}.

Ответ: | A U B| = 4

13. Найдите кардинальное число множества  B(P) U B(Q), где

P = { a, b, c };  Q = { b,  c,  d }.

Ответ: |B(P) U B(Q)| = |B(P U Q)| = |B{ a, b,  c,  d }| = 2⁴ = 16

14. Найдите кардинальное число множества B(K) U B(M), где

K  = { x / x —  четное натуральное число ,  x  ≤ 8};

M = { x / x —  нечетное натуральное число ,  x  < 6}.

15. Сколько собственных подмножеств имеет множество , A = A₁ U A₂ U… U A_n,

если A₁ ,  A₂ ,…,  A_n  — синглетоны , попарно не равные между собой ?

Ответ: 2ⁿ-2