Будем рассматривать объекты на координатной плоскости Оху и рассматривать уравнения с двумя неизвестными, полагая, что третья координата z всегда равна нулю. Линии, как и поверхности, подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определение. Линия называется алгебраической, если ее уравнение в декартовой системе координат имеет вид

где F(xy) - многочлен степени n относительно переменных х, у.

Степень этого многочлена называют порядком алгебраической линии. Например, прямая линия на плоскости есть алгебраическая линия первого порядка.

Линии, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными

В этом параграфе будем рассматривать алгебраические линии второго порядка. Самое общее уравнение алгебраической линии второго порядка имеет вид

здесь множитель 2 в некоторых коэффициентах введен лишь для удобства некоторых выкладок в дальнейшем. Из последующего материала будет ясно, что любая линия 2-го порядка представляет собой либо эллипс (окружность, как его частный случай), либо гиперболу, либо параболу, либо какой-нибудь случай их "вырождения". Дадим определения этих ... Смотреть решение »

Центр окружности, радиус окружности
Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой центром окружности (рис. 6).

Пусть центр окружности находится в точке С(а, b). Т.к. окружность есть множество точек М(х, у), находящихся на расстоянии R (радиус окружности) от центра С(а, b), то , то есть

Уравнение (35) и есть каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а, b) и радиусом R.

Эксцентриситет эллипса, вершины эллипса, координаты фокусов

Определение. Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Внешний вид уравнения какого-либо геометрического места точек зависит от взаимного расположения этого множества точек и декартовой системы координат.

Выберем прямоугольную систему декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через оба фокуса F₁ и F₂, начало координат находится в середине отрезка F₁F₂ (рис. 7). Если обозначить расстояние между фокусами F₁ и F₂ через 2с, тогда координаты фокусов будут соответственно (-с, 0) и (с, 0).

Пусть М(х, у) - текущая точка эллипса (рис. 7).

Обозначим сумму расстояний F1M и F2M через 2а (a > c по правилу треугольника), т.е. , или

Уравнение (36) и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простой для исследований форме:

Поскольку a > c, то можно обозначить

тогда получаем

Окончательно получим (при выбранной системе координат) уравнение

Уравнение (38) называют каноническим уравнением эллипса. ... Смотреть решение »

Эксцентриситетом гиперболы, вершинами гиперболы, директрисами гиперболы.

Определение. Гипербола есть геометрическое место точек, абсолютное значение разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами).

Расстояние между фокусами F₁ и F₁ обозначим 2c. Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса (рис. 10).

Из определения имеем

следовательно, a > c. Опуская вывод, запишем уравнение гиперболы

 

Уравнение (40) называют каноническим уравнением гиперболы. Число а называют действительной полуосью гиперболы, число b - мнимой полуосью.

Отметим, что согласно уравнению (40) гипербола симметрична относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат. Т.к. из канонического уравнения гиперболы следует, что

то нет точек кривой в полосе -a > x > a.

... Смотреть решение »

Фокус параболы, директриса параболы, параметром параболы, эксцентриситет параболы

Определение. Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через точку фокуса F перпендикулярно директрисе L, начало координат расположим в середине отрезка FN (рис. 11).

Расстояние между фокусом F и директрисой L обозначим р. Значение р называют параметром параболы.

Пусть M(x, y) - текущая точка параболы, тогда, по определению параболы имеем или отсюда получаем

Уравнение (41) называют каноническим уравнением параболы.

Вершина параболы находится в начале координат, и кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 11).

Замечание. Если для эллипса и гиперболы обозначим через r расстояни ... Смотреть решение »

Мы рассматриваем прямоугольную декартову систему координат. При параллельном переносе системы координат сохраняется направление координатных осей, но меняется положение начала координат (рис.12).

Пусть Оху - "старая" система координат, а О'х'у' - "новая" система координат. Пусть произвольная точка Мимеет координаты (х, у) в "старой" системе, и она же имеет координаты (х', y')в новой системе, кроме того, пусть новое начало O' имеет координаты (а, b) в "старой" системе (рис. 12).

Тогда

Т.к. при параллельном переносе осей координат базис не меняется, то при сложении векторов можно складывать их координаты.

Следовательно, имеем

Формулы (42) есть формулы перехода, связывающие "старые" и "новые" координаты.

Сейчас мы рассматриваем преобразование, заключающееся в повороте координатных осей с сохранением начала координат (рис. 13).

Пусть точка М имеет координаты (х, у) в "старой" системе и координаты (х,' у')в "новой" системе, α - угол поворота осей координат, отсчитываемый в положительном направлении от "старой" оси Ох. В данном случае происходит изменение базиса на базис

Запишем координаты векторов и в базисе

т.е., мы получили или, в матричной форме

Формулы (43), (44) выражают "старые" координаты через "новые".

Обозначим матрицу

Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

коэффициент которого a'₁₂ будет равен

Приравнивая коэффициент a'₁₂ к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :