Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y )
вычисляется по формуле:


где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY

ПРИМЕР 1. Найти площадь части  Ω сферы  x²  +  y²  +  z²  =  a² , заключенной
внутри прямого кругового цилиндра  x²  +  y²  =  b² ,  b  ≤  a

Из симметрии относительно плоскости  ОХY для нахождения искомой
площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части  Ω₁ , лежащей
выше плоскости  ОХY , и удвоить полученное значение.

Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y) , выражается двойным интегралом


Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y=x²,  y=1, x+y+z=4, z=0

Для того чтобы разобраться в примерах решений двойных интегралов, вы должны дать ответы на контрольные вопросы:
1. Дайте определение двойного интеграла.
2. Перечислите свойства двойного интеграла.
3. Какой интеграл вычисляется в первую очередь (внутренний или внешний)?
4. Как расставляются пределы интегрирования?
5. По какой формуле вычисляется площадь фигуры.

Ответы на поставленные вопросы находятся на странице двойные интегралы.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл
если областью интегрирования σ является треугольник, ограниченный прямыми y=0, x=2, y=x/2 (см.рис.)


Решение.  ... Смотреть решение »