|
Тема: Методика применения формулы умножения вероятностей в решении задач.
Изучение темы начинаем из самого простого случая, когда события А и В независимы:
если события А и В независимы, т.е. вероятность события А не зависит от исхода события В, и наоборот вероятность события В не зависит от исхода события А, то формула умножения вероятностей событий А и В равна
P(AB)=P(A)*P(B)
Пример 1. Игральную кость бросают два раза. Найти вероятность того, что два раза подряд выпадет "шестерка"
Решение.
Обозначим событие А - выпадет "6" в первый раз,
Обозначим В - выпадет "6" во второй раз.
Вероятность выпадения "6" в первый раз находим по формуле классической вероятности: P(A)=1/6, аналогично находим вероятность события В: P(B)=1/6
Так как события А и В являются независимыми (исход события А не влияет на исход события В), то вероятность того, что произойдут события А и В находим по формуле умножения вероятностей
(подсказка: формула умножения вероятностей применяется тогда, когда в условии задачи используется союз "и"):
P(AB)=P(A)*P(B)=1/6*1/6=1/36
Ответ: 1/36.
Для двух зависимых событий А и В, формула умножения вероятностей имеет вид:
P(AB)=P(А)*P(В/А)
где P(A/B) - условная вероятность события А, при условии, что произошло событие В.
Пример 2. Из коробки, содержащей 3 белых и 5 чёрных шаров, наугад взяли 2
шара. Какова вероятность того, что все 2 шара оказались чёрного цвета?
Решение. Обозначим А - событие, первый вынутый шар черного цвета,
В - второй вынутый шар также черного цвета.
Вероятность события А находим по формуле классической вероятности: P(A)=5/8
Вероятность события B/A находим по формуле условной вероятности: P(B/A)=4/7,
Тогда вероятность того, что все два шара оказались черного цвета, находим по формуле умножения вероятностей:
P(AB)=P(А)*P(В/А)=5/8*4/7=5/14
Ответ: 5/14.
И в заключении рассмотрим чуть более сложный случай, когда имеется три зависимых события А,В и С, то формула умножения вероятностей имеет вид:
P(AB)=P(А)*P(В/А)*P(C/AB)
Пример 2. Из коробки, содержащей 3 белых и 5 чёрных шаров, наугад взяли 3
шара. Какова вероятность того, что все 3 шара оказались чёрного цвета?
Решение.
Обозначим А - событие, первый вынутый шар черного цвета,
В - второй вынутый шар также черного цвета.
С - третий шар черного цвета
Вероятность события А находим по формуле классической вероятности: P(A)=5/8
Вероятность события В/А находим по формуле условной вероятности: P(B/А)=4/7,
Вероятность события С/АВ находим по формуле условной вероятности: P(С/АВ)=3/6,
Тогда вероятность того, что все два шара оказались черного цвета, находим по формуле умножения вероятностей:
P(AB)=P(А)*P(В/А)*Р(С/АВ)=5/8*4/7*3/6=5/28
Ответ: 5/28
Подведем итог занятия: Для того чтобы уметь решать задачи на теорему умножения вероятностей мы должны определять зависимые события от независимых и конечно же уметь пользоваться формулами классической вероятности и условной вероятности.
Задачи для самостоятельного решения;
Вычислить вероятности событий, пользуясь формулами сложения вероятностей и (или)
умножения вероятностей.
1. Три стрелка одновременно делают по одному выстрелу по мишени. Какова вероят-
ность того, что мишень будет поражена только одной пулей, если вероятность попа-
дания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,6?
2. В классе учатся 10 мальчиков и 8 девочек. По жребию выбирают 5 учеников этого
класса. Какова вероятность того, что среди них окажется не менее трёх девочек?
3. Из сосуда, содержащего 2 белых и 4 чёрных шара, двое поочерёдно извлекают шар
(без возвращения). Найти вероятность того, что каждый из участников вынет первым
белый шар.
4. В урне 4 белых и 6 чёрных шаров. Из урны наугад извлекают 4 шара. Какова вероят-
ность того, что среди них будет хотя бы два чёрных шара?
5. Двое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, который первым в результате по-
лучит орла. Какова вероятность того, что игра закончится не позднее чем после вто-
рого бросания монеты вторым игроком?
6. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трёх орудий соответственно равны:
0,8; 0,7; 0,9. Вычислить вероятность двух попаданий при одном залпе из всех орудий.
7. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что сре-
ди трёх наудачу выбранных билетов будет не менее двух выигрышных.
8. Чтобы получить положительную оценку на экзамене студент должен ответить по
меньшей мере на три вопроса из предложенных пяти. Какова вероятность того, что
студент успешно выдержит экзамен, если он знает 20 из 30 вопросов программы?
9. В ящике 12 деталей, среди которых 8 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 де-
тали. Найти вероятность того, что хотя бы две детали из взятых будут окрашенными.
10. Автобусный маршрут обслуживается тремя автобусами. Вероятности возникновения
неисправностей автобусов на маршруте в течении смены равны соответственно: 0,2;
0,1; 0,08. Определить вероятность того, что в течении смены неисправность возникнет
только у одного автобуса.
11. Три баскетболиста производят по одному броску мяча. Вероятность попадания мяча
в корзину для первого, второго и третьего баскетболиста равны соответственно 0,9,
0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что удачными будут только два броска.
12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент
ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на
первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того,
что студент сдаст зачет?
|
