|
17:15
теорема сложения вероятностей
|
|
Тема: Методика применения правила сложения вероятностей в решении задач по теории вероятности.
Теорема 1: Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей
p(A+B)=p(A)+p(B)
Казалось бы, что может быть проще, по формуле классической вероятности находим вероятность каждого события в отдельности, складываем, получаем ответ - вероятность суммы. Но это не всегда так. И как правило, студенты чаще всего допускают ошибку в применении данной формулы!
На примерах и контрпримерах разберем методику применения сложения вероятностей. Пример. Найти вероятность того что при бросании игральной кости выпадет "тройка" или "шестерка". Решение. Событие А - выпадет "3", вероятность события А находим по формуле классической вероятности: p(A)=1/6. Событие B - выпадет "6", вероятность события B также находим по формуле классической вероятности: p(B)=1/6. Вероятность вероятность того что при бросании игральной кости выпадет "тройка" или "шестерка" находим по формуле сложения вероятностей:
p(A+B)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=2/6=1/3
Ответ: p(A+B)=1/3 - ответ верный.
Контрпример 1. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет четное число или "6". Решение.Событие А- выпадет "четное число", вероятность события А находим по формуле классической вероятности: p(A)=3/6=1/2. Событие B - выпадет "6", вероятность события B также находим по формуле классической вероятности: p(B)=1/6. Вероятность вероятность того что при бросании игральной кости выпадет "четное число" или "шестерка" находим по формуле сложения вероятностей:
p(A+B)=p(A)+p(B)=1/2+1/6=4/6=2/3
Ответ: p(A+B)=2/3 -ответ неверный.
В чем же дело, почему в примере ответ верный, а в контрпримере, нам преподаватель перечеркнул все решение и поставил два бала? Ответ простой: в примере события А и В несовместные, а в контрпримере совместные. Надо внимательно читать теорему: теорема справедлива только для несовместных событий! Правильное решение контрпримера 1. События А -"выпадение четного числа" и событие В - "выпадение 6" совместные поэтому теорема 1 здесь неприменима. Вероятность события p(A+B) находим по формуле классической вероятности: благоприятных событий - 3 ("выпадение 3 или 4 или 6), всех возможных -6, тогда p(A+B)=3/6=1/2 Далее разберем: какие события являются совместными и какие несовместные: совместные события это те события, которые могут произойти одновременно (совместно), например, при бросании кости выпадение одновременно "четного числа" и "6", несовместные события - события которые не могут произойти одновременно, например, выпадение "3" и "6". Приведем еще один контрпример, который доведет ответ до абсурда, но который студенты часто дают на экзамене. Контрпример 2. (Любимая задача очень известного профессора МГУ) Рыбак ловит рыбу на две удочки. Вероятность поймать рыбу на первую удочку равна 0,7, на вторую - 0,8. Какова вероятность того, что рыбак поймает рыбу на первую или на вторую удочки? Решение. Как правило студенты, пользуясь теоремой сложения несовместных событий, отвечают: вероятность равна 0,7+0,8= 1,5, и сами удивляются ответу (правда не все) - вероятность не может быть больше 1. Надеюсь мы уяснили, что теорема 1 работает только для несовместных событий. Настало время теореме 2: вероятность суммы независимых событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения :
p(A+B)=p(A)+p(B) - p(AB)
Комментарий к теореме 2. Обратите внимание здесь применено понятие независимых событий (это не такое уж и простое понятие, в дальнейшем мы выделим целое занятие, для правильного понимания и применения на практике данного определения), сейчас скажем так: что независимыми событиями называются события, когда исход одного события не влияет на вероятность исхода второго события, в противном случае, события называются зависимыми. С помощью теоремы 2 можно дать правильное решение контрпримера 2:
p(A+B)=p(A) + p(B) - p(AB)=0,7 + 0,8 - 0,7*0,8=0,94
Как видим вероятность поймать рыбу у рыбака довольно приличная 0,94, но не больше 1.
Подведем итог: теорему 1 применяем для несовместных событий, теорему 2, - для независимых событий. Примечание: теоремы сложения применяем, когда в условии задачи имеется союз "или" ( в теории множеств он означает сложение), если в условии союз "и", то применяем теорему умножения событий, но это уже следующая тема. |
|
|
| Всего комментариев: 0 | |
