Классическое определение вероятности - 5 Сентября 2013 - Примеры решений задач

Главная » 2013 » Сентябрь » 5 » Классическое определение вероятности

00:08

Классическое определение вероятности

Классическое определение. Вероятностью P(A) события A называют отношение числа
исходов опыта N_A , приводящих к осуществлению события A , к общему числу исходов
опыта N в предположении, что все исходы опыта являются равновозможными:

$P\left ( A \right )=\frac{N_A}{N}$

Пример 1. Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что число вы-
павших очков будет не менее 5 (событие A )?

Решение. Игральная кость имеет 6 граней. Следовательно, общее число исходов опыта равно
N = 6. К осуществлению события A приводят только 2 исхода, когда выпадает или 5 или 6
очков, т.е. N_A = 2. Таким образом, искомая вероятность равна P ( A ) = 2/6 = 1/3.

Пример 2. Из 10 теннисных мячей, среди которых 4 мяча новые, для очередной
игры случайным образом берут три. Какова вероятность того, что среди взятых мячей два
мяча будут новыми (событие A )?

Решение. Можно считать, что все результаты выбора являются равновозможными.
Порядок выбора мячей не имеет значения. Это значит, что возможные исходы опыта следует рассматривать как сочетания. Так как взято 3 мяча из 10, то общее число исходов опыта будет равно $C_{10}^{3}$ . К событию A приводят такие варианты, когда в число взятых мячей попали 2 мяча из четырёх новых $\left (C_{4}^{2} \right )$ и один мяч из шести старых $\left (C_{6}^{1} \right )$ . Следовательно,

$N=C_{10}^{3}=\frac{10!}{3!7!}=120,N_A=C_{4}^{2}C_{6}^{1}=36$

Тогда P(A)=N_A/N=36/120=0,3

Пример 3. Колода из 36 карт хорошо перемешана, то есть все возможные распределения карт равновероятны. Найти вероятность события: все четыре короля расположены рядом

Решение. Вероятность события А - "все четыре короля расположены рядом" находим по формуле классической вероятности:

$P\left ( A \right )=\frac{m}{n}$

Число благоприятных событий: положение четвёрки королей полностью определяется положением первого короля. А он может располагаться на 1-ом, 2-ом, ..., 33-ем месте. Ведь нам нужно, чтобы после него ещё три карты (остальные три туза) поместились! Отсюда получаем первый множитель 33.
Нам не важно, в каком именно порядке расположены короли - различные варианты порядка будут учтены домножением на 4! (пусть у нас выбраны четыре позиции для королей, тогда на этих позициях короли можно переставить (не трогая другие карты) 4! способами).
А есть ещё 32 оставшихся места, занятых 32-мя оставшимися картами-не-королями, и эти карты при фиксированном расположении тузов можно переставить 32! способами, поэтому общее число разложений колоды, удовлетворяющих нашему условию, равно $m=33*4!*32!$

Всего же вариантов разложить колоду столько, сколькими способами можно переставить между собой 36 карт, то есть число перестановок из 36 элементов - n=36!
По формуле классической вероятности, имеем

$P\left ( A \right )=\frac{33*4!*32!}{36!}=\frac{24}{35*36}\approx 0,019$

Всего комментариев: 0