Пример.2. Два конкурирующих предприятия «Левый» и «Правый», выпускающие обувь, имеют следующие доли общего сбыта своей продукции на местном рынке: «Левый» – 53%, «Правый» – 47%. Оба предприятия пытаются увеличить объем своих продаж. Для этого у них имеются следующие возможности: расширить сеть сбыта, реклама, увеличить ассортимент. Анализ показал, что изменения доли рынка предприятия «Левый» на рынке обуви в случае осуществления обоими предприятиями указанных мероприятий, задаются таблицей 1

$\nu $.Таблица 1.

Как изменится доля рынка каждого предприятия после проведения ими со-
ответствующих мероприятий? Какие мероприятия наиболее эффективны
для каждого из предприятий?

Решение
Упростим платежную матрицу игры. Заметим, что стратегия «Рас-
ширение сети» фирмы «Левый» доминирует над стратегией «Отказ от про-
ведения», поэтому вычеркнем в платежной матрице четвертую строчку.
Получим таблицу 2.                    

                                                                                                                      Таблица 2.

Аналогично, стратегия «Расширение сети» фирмы «Правый» доми-
нирует над стратегией «Отказ от проведения», поэтому вычеркнем послед-
ний столбец в платежной матрице. Получим таблицу 3.

Таблица 3.

      Найдем нижнюю и верхнюю цену игры, получим α = −4, β = −1.

Значит, игра не имеет седловой точки.
      Увеличим все элементы платежной матрицы на 5, получим табли-
цу 4.

Таблица 4.

Составим математическую модель задачи.  Пусть  $p=(p_{1},p_{2},p_{3})$ - смешанная стратегия, прменяемая предприятием "Левый", $\nu $ -цена игры, тогда требуется найти неотрицательные значения переменных $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}$ и $\nu$ ,удовлетворяющих системе ограничений

$\left\{\begin{matrix} p_1 &  & +4p_3 &\geq \nu  \\ 4p_1 &+ 5p_2 & +2p_3 &\geq \nu  \\ 2p_1 &+6p_2  &  &\geq \nu  \\ p_1 &+p_2  &+p_3  & = 1 \end{matrix}\right.$

и обращающих в максимум целевую функцию

$\mathbb{Z}= \nu$

        Введем неотрицательные фиктивные переменные $p_4,p_5,p_6, тогда система ограничений примет вид:

$$\left\{\begin{matrix}
p_{1} &  &+4p_{3}  &-p_{4}  &  &  &-\nu = 0 \\
4p_{1} &+5p_{2}  &+2p_{3}  &  &-p_{5}  &  &-\nu = 0 \\
2p_{1} &+6p_{2}  &  &  &  &-p_{6}  &-\nu = 0 \\
p_{1} &+p_{2}  &+p_{3}  &  &  &  &       = 1    
\end{matrix}\right.$$

   Решив задачу симплекс-методом, получим

$$\left\{\begin{matrix}
p_{2}= \frac{2}{5} &-\frac{1}{2}p_{1}  & -\frac{1}{10}p_{4} &+\frac{1}{10}p_{6}, \\
p_{3}= \frac{3}{5} &-\frac{1}{2}p_{1}  &+\frac{1}{10}p_{4}  &-\frac{1}{10}p_{6}, \\
p_{5}= \frac{4}{5} &+\frac{3}{2}p_{1}  &+\frac{3}{10}p_{4}  &+\frac{7}{10}p_{6}, \\
\nu = \frac{12}{5} &-p_{1}  &-\frac{3}{5}p_{4}  &-\frac{2}{5}p_{6},
\end{matrix}\right.$$

$$\mathbb{Z}=\frac{12}{5}-p_{1}-\frac{3}{5}p_{4}-\frac{2}{5}p_{6}.$$

    Значит, смешанная стратегия предприятия "Левый" имеет вид

$p=\left ( 0,\frac{2}{5},\frac{3}{5} \right ),$ а цена игры составляет $-\frac{13}{5}$

Таким образом, фирме «Левый» не следует использовать стратегии
«Расширение сети» и «Отказ от проведения», а оставшиеся стратегии при-
менять с частотой 0,4 и 0,6 соответственно, при этом доля рынка компа-
нии уменьшится на 2,6 процента.
Проведем анализ поведения предприятия «Правый». Требуется найти неотрицательные значения переменных $g_{1},g_{2},g_{3}\;  и\;   \nu$, удовлетворяющих системе ограничений

$$\left\{\begin{matrix}
g_1 &+4g_2  &+2g_3  &\leq \nu  \\
 &+5g_2  &+6g_3  &\leq \nu  \\
4g_1 &+2g_2  &  &\leq \nu  \\
g_1 &+g_2  &+g_3  &= 1
\end{matrix}\right.$$

и обращающих в минимум функцию

$$\tilde{\mathbb{Z}}= \nu $$

Введем фиктивные неотрицательные переменные$\; g_{4}\; , g_{5}\; и\; g_{6}$ , тогда
система ограничений  примет вид

$$\left\{\begin{matrix}
g_1 &+4g_2  &+2g_3  &+g_4  &  &  &-\nu = 0 \\
 & 5g_2 &+6g_3  &  &+g_5  &  &-\nu = 0 \\
4g_1 &+2g_2  &  &  &  &+g_6  &-\nu = 0 \\
g_1 &+g_2  &+g_3  &= 1  &  &  &
\end{matrix}\right.$$

Решив задачу симплекс-методом, получим

$$\left\{\begin{matrix}
g_1=\frac{3}{5} &-\frac{3}{10}g_2  &+\frac{1}{10}g_5  &-\frac{1}{10}g_6 \\
g_3=\frac{2}{5} &-\frac{7}{10}g_2  &-\frac{1}{10}g_5  &+\frac{1}{10}g_6 \\
g_4=1 &-\frac{3}{2}g_2  &+\frac{1}{2}g_5  &+\frac{1}{2}g_6 \\
\nu =\frac{12}{5} &+\frac{4}{5}g_2  &+\frac{2}{5}g_5  &+\frac{3}{5}g_6
\end{matrix}\right.$$

$$\mathbb{Z}=\frac{12}{5}+\frac{4}{5}g_2+\frac{2}{5}g_5+\frac{3}{5}g_6.$$

Значит, смешанная стратегия предприятия «Правый» имеет вид

$g=\left ( \frac{3}{5},0,\frac{2}{5} \right ),$а цена игры составляет $-\frac{13}{5}$

            Таким образом, фирме «Правый» не следует использовать стратегии
«Реклама» и «Отказ от проведения», а оставшиеся стратегии применять с
частотой 0,6 и 0,4 соответственно, при этом доля рынка компании увели-
чится на 2,6 процента.