.Решить дифференциальное уравнение

$$2(xy+y)y`+x(y^{4}+1)=0$$

Проверить решение.

Решение:Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

$$2(x+1)y\cdot \frac{dy}{dx}=-x(y^{4}+1)$$

$$\frac{2ydy}{y^{4}+4}=-\frac{xdx}{x+1}$$

Интегрируем:

$$2\int \frac{ydy}{y^{4}+1}=-\int \frac{(x+1-1)dx}{x+1}dx$$

$$\int \frac{d(y^{2})}{(y^{2})^2+1}=-\int \left ( 1-\frac{1}{x+1} \right )dx$$

$$arctg(y^{2})=-x+ln\left ( x+1 \right )+C$$
 

Ответ: общий интеграл:

$$arctg(y^{2})+x-ln\left | x+1 \right |=C, C=const$$

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

$$(arctg(y^{2})+x-ln\left | x+1 \right |)`=(C)`$$
$$(arctg(y^{2}))`+(x)`-(ln\left | x+1 \right |)`=0$$
$$\frac{1}{1+(y^{2})^2}\cdot (y^{2})`+1-\frac{1}{x+1}=0$$
$$\frac{2yy`}{1+(y^{2})^2}+\frac{x+1-1}{x+1}=0$$
$$\frac{2yy`}{1+y^{4}}+\frac{x}{x+1}=0$$

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на

$$(1+y^{4})(x+1)$$
$$(1+y^{4})(x+1)\cdot \frac{2yy`}{1+^y{4}}+(1+y^{4})(x+1)\cdot \frac{x}{x+1}=0$$
$$2(x+1)yy`+x(1+y^{4})=0$$
$$2(xy+y)y`+x(1+y^{4})=0$$

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

... Смотреть решение »