Решение однородного дифференциального уравнения - 26 Августа 2012 - Примеры решений задач

Главная » 2012 » Август » 26 » Решение однородного дифференциального уравнения

14:58

Решение однородного дифференциального уравнения

Решить дифференциальное уравнение
$\frac{dy}{dx}=\frac{xy}{x^2-y^2}$ .
Решение. Справа стоит однородная функция нулевого измерения; следовательно, имеем однородное уравнение.
Делаем замену
$\frac{y}{x}=u$

тогда $y=ux$ ,

$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ ,

$u+x\frac{du}{dx}=\frac{u}{1-u^2}$ ,

$x\frac{du}{dx}=\frac{u^3}{1-u^2}$ .
Разделяя переменные будем иметь:

$\frac{\left ( 1-u^2 \right )du}{u^3}=\frac{dx}{x}$ , $\left ( \frac{1}{u^3}-\frac{1}{u} \right )du=\frac{dx}{x}$ ;
отсюда, интегрируя, находим:
$-\frac{1}{2u^2}-ln\left | u \right |=ln\left | x \right |+ln\left | C \right |$ или $-\frac{1}{2u^2}=ln\left | uxC \right |$ .
Подставляя u=y/x, получим общий интеграл исходного уравнения:
$-\frac{x^2}{2y^2}=ln\left ( Cy \right )$ .
Получить y как явную функцию от х, записанную с помощью элементарных функций, в данном случае невозможно. Впрочем, здесь легко выразить x через у:
$x=y\sqrt{-2ln\left | Cy \right |}$ .