Сочетаниями из n элементов по k называется любое подмножество из k элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из  n  различных элементов.

         Отметим, что в отличие от размещений, в сочетаниях порядок выбора элементов уже не важен. Если при выборе запрещены повторения, то число возможных сочетаний вычисляется по формуле

Заметим, что  ... Смотреть решение »

Размещением из n элементов по k элементов называется любое упорядоченное подмножество из k элементов исходного множества, содержащего n различных элементов.

         Отметим, что размещения возникают в тех случаях, когда важен порядок выбора элементов. Если при выборе запрещены повторения, то число возможных размещений вычисляется по формуле

 

 

Пример 1. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной. ... Смотреть решение »

Определим индекс перестановки a₁ a₂ ... a_n как сумму всех j, 

таких что, a_j > a_j+1, 1 ≤ j < n.

Пример 1. Индекс перестановки (5 9 1 8 2 6 4 7 3)

\равен 2+ 4 + 6 + 8 = 20. ... Смотреть решение »

Три способа определения знака:

(1) с помощью разложения перестановки на транспозиции;
(2) с помощью декремента;
(3) с помощью подсчета количества инверсий (беспорядков)
в перестановке.
В каждом из способов −1 возводится в степень (равную количеству транспозиции, декременту или количеству инверсий соответственно)

 

 

Определение 1. Подстановкой (перестановкой) множества  M={1,2,3,...n} состоящего из  n первых натуральных чисел, называется взаимно-однозначное отображение множества  M на себя. Число  n  в этом случае называется степенью подстановки (не путать с порядком подстановки!).

Подстановки будем записывать в виде таблицы, состоящей из двух строк и  n столбцов следующим образом:

Пример. Примерами подстановок 5-го порядка будут подстановки: ... Смотреть решение »