Формулы вероятностей суммы, произведения случайных событий.

Зависимые, независимые события

ТВ666 По мишени производится 3 выстрела. Обозначим события: $A_i$={попадание при $i$-выстреле} $(i=1,2,3)$; $B$={только одно попадание в мишень}; $C$={хотя бы одно попадание в мишень}; $D$={два попадания в мишень}; $E$={не менее двух попаданий в мишень}; $F$={ни одного попадания в мишень}; $G$={три попадания в мишень}. Выразить события $B,C,D,E,F,G$ через события и найти вероятности событий $B,C,D,E,F,G$ если считать, что все события $A_i$ – равновероятны и $p(A_1)=p(A_2)=p(A_3)=1/4 $

ТВ667 В ящике 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в ящик перед извлечением следующего и шары в ящике перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых?

ТВ668 В урне а белых, b черных и с красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными.

ТВ669 В ящике 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) красный, 5) белый или черный, 6) синий или красный; 7) белый, черный или синий?

ТВ670 Бросаются две игральные кости. Введены события: $A_i$={выпало нечетное количество очков на первой кости}, $A_2$={выпало четное количество очков на второй кости}, $B$ ={сумма очков на двух гранях костей – нечетная}, $C$={сумма очков на двух гранях – четная}. Выразить события $B,C$ через $A_1,A_2$. Найти вероятности событий $B,C$ . Найти полную группу событий.

ТВ671 В урне находятся 5 красных и 7 белых шара. Из урны наудачу берут три шара. Найти вероятность того, что: 1) все выбранные шары красные; 2) все выбранные шары белые; 3) 1 шар красный и 2 шара белых; 4) 2 шара красных и 1 шар белый.

ТВ672 По каналу связи передается последовательно 3 сообщения (каждое из них может быть передано правильно или искаженно). Обозначим события: $A_i$ ={$i$-сообщение передано правильно} $(i=1,2,3)$. Выразить через $A_i$ следующие события: $B$={все три сообщения переданы правильно}; $C$={все три сообщения искажены}; $D$={хотя бы одно сообщение передано правильно}; $E$={хотя бы одно сообщение искажено}; $F$={не менее двух сообщений передано правильно}; $G$={не более одного сообщения искажено}. Найти вероятность этих событий при условии, что вероятность правильной передачи каждого из сообщений $A_i$ равна 2/3.

ТВ673 В ящике 6 белых и 4 черных мячей. Вынимаются последовательно три мяча и не возвращаются обратно. Какова вероятность того, что: 1) все вынутые мячи – белые; 2) все вынутые мячи – черные; 3) 1 белый мяч и 2 черных мячей. Как изменится вероятность, если мячи возвращаются обратно?

ТВ674 В классе 8 мальчиков и 12 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны: 1) 2 мальчика, 2) 2 девочки, 3) мальчик и девочка.

ТВ675 В первой урне содержится 2 белых и 3 черных шара, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар. После этого из второй берется наудачу шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

ТВ676 Вероятность попадания в цель при определенных условиях равна $p$. При одном попадании цель выходит из строя. Определить вероятность того, что для поражения цели понадобиться произвести: 1) второй выстрел; 2) третий выстрел; 3) четвертый выстрел; 4) пятый выстрел. Решить задачу при $p=1/3, p=1/2$. Обосновать, в каком случае вероятность выхода из строя больше.

ТВ677 Проводится наблюдение за группой, состоящей из 4 однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или нет. Рассматриваются события: A={обнаружен только один из объектов}; B={обнаружен хотя бы один из объектов}; C={обнаружено не менее двух объектов}; D={обнаружено ровно два объекта}; E={обнаружено ровно три объекта}; F={все четыре объекта обнаружены}. Указать, в чем состоят события (описать словесно): A+B, AB, B+C, BC, D+E+F, BF. Совпадают ли события BC и D? Найти вероятности этих событий, если вероятность обнаружения каждого их объектов одинакова и равна 0,2.

ТВ678 Три студента независимо друг от друга проводят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый студент допустит ошибку, равна 0,1; для второго и третьего студентов эта вероятность равна 0,2. Найти вероятность того, что: 1) допустил ошибку только один; 2) допустил ошибку только второй; 3) все три допустили ошибку; 4) допустили ошибку любые двое их них; 5) ни один студент не допустил ошибку; 6) допустил ошибку или второй, или третий.

ТВ679 Передающее устройство, канал связи, принимающее устройство могут быть повреждены. Вероятности их повреждения соответственно равны 0,5; 0,4; 0,6. Найти вероятность того, что: 1) будет повреждено хотя бы одно из них; 2) хотя бы одно из них не будет повреждено; 3) система будет работать; 4) любые два из них будут повреждены.

ТВ680 Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью р1=0,6, стрелок В – с вероятностью р2=0,5, стрелок С – с вероятностью р3=0,4. Стрелки дали залп по мишени, две пули попали в цель. Что вероятнее: попал стрелок С в мишень или нет?

ТВ681 По самолету производится 3 одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3, при двух попаданиях – с вероятностью 0,6, при трех попаданиях самолет выходит из строя наверняка. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

ТВ682 В первой урне содержится 2 белых и 3 черных шара, во второй 2 белых и 2 черных, в третьей 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, после этого из второй в третью, затем из третьей в первую. Найти вероятность того, что состав шаров в 1 урне не изменится.

ТВ683 На складе 20 деталей. Из них имеют отличное качество 10, хорошее 6, удовлетворительное 4. Производится случайная выборка из 3-х деталей. Какова вероятность того, что: 1) все детали будут отличного качества; 2) две детали удовлетворительного и одна хорошего качества; в) все 3 детали различного качества; 4) две детали хорошего качества и одна отличного.

ТВ684 В урне находятся 5 белых, 6 красных и 9 синих шаров. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что: 1) в первый раз появится белый шар (событиеA1), во второй раз – красный (событие B1), в третий раз – синий (событие C1); 2) в первый раз появится красный шар (событие A2), во второй раз – синий (событие B2), в третий раз – красный (событие C2); 3) каждый раз появится шар одного цвета.

ТВ685 Три студента независимо друг от друга проводят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый студент не допустит ошибку, равна 0,8; для второго студента эта вероятность равна 0,7; для третьего – 0,6. Найти вероятность того, что: 1) не допустил ошибку только один студент; 2) не допустили ошибку любые двое из студентов; 3) все три студента не допустили ошибку; 4) допустил ошибку только третий студент.

ТВ686 Проводится наблюдение за группой, состоящей из 3 однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или нет (вероятность обнаружения каждого из объектов 0,1). Рассматриваются случайные события: A={обнаружены все три объекта}; B={обнаружены два объекта}; C={обнаружен только один объект}; D={обнаружен любой из объектов}; E={обнаружено не менее одного объекта}, F={ни один из объектов не обнаружен}. Найти вероятности этих событий.

ТВ687 В урне находятся шары трех цветов: зеленые, красные, синие. Наудачу извлекается один шар. События: A={извлеченный шар зеленый}, B={извлеченный шар красный}, C={извлеченный шар синий}. Что представляют из себя события (записать словесно):$A+B; \overline{A+C}; ;A+B+C; AB+C, \bar{A}+B+ \bar{C}$. Найти вероятности этих событий, если в урне всего 10 шаров, из них зеленых и красных по 3 шара.

23 В одинаковых и независимых условиях производятся 3 выстрела, при каждом из которых с вероятностью p=0,8 поражается цель. Какова вероятность того, что цель поражается: 1) впервые при третьем выстреле; 2) впервые при втором выстреле.

ТВ688 Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: А={на трех костях выпадут разные грани}; В={хотя бы на одной из костей выпадает шесть очков}. Вычислить Р(В/А) и Р(А/В), Р(А), Р(В) и убедиться в справедливости теоремы умножения вероятностей.

ТВ689 По мишени производится 3 выстрела. Обозначим события: $A_i$={попадание при -выстреле} $(i=1,2,3)$; $B$={все три попадания в мишень}; $C$={два попадания в мишень}; $D$={только одно попадание в мишень}; $E$={не менее двух попаданий в мишень}; $F$={ни одного попадания в мишень}; $G$={любое из трех попаданий в мишень}. Выразить события $B,C,D,E,F,G$ через события и найти их вероятности, если все события – равновероятны и $p(A_1)=p(A_2)=p(A_3)=1/4$.

ТВ690 Игральная кость подбрасывается один раз. Известно, что появляется нечетное число очков. Какова вероятность при этом условии того, что: 1) появляется число очков, строго меньшее 4; какова безусловная вероятность числа очков, меньшего 4? 2) появляется число очков, строго меньшее 5.

ТВ691 Пусть $H_1,H_2,H_3,H_4$ – случайные элементарные события, независимые друг от друга. Выразить через эти события следующие случайные события: 1) $A$={произошли все события $H_1,H_2,H_3,H_4$}; 2) $B$={не произошло ни одного из событий $H_1,H_2,H_3,H_4$}; 3) $C$={произошло только одно из событий $H_1,H_2,H_3,H_4$}; 4) $D$={произошло только два события из $H_1,H_2,H_3,H_4$}; 5) $E$={произошло не более двух событий из $H_1,H_2,H_3,H_4$}. Найти вероятности этих событий, если $p(H_1)=0,1, p(H_2)=0,3, p(H_3)=0,25, p(H_4)=0,5$.

ТВ692 Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что при¬дется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.

ТВ693 Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: 1) сумма выпавших очков на двух гранях – четная, причем на грани какой-нибудь из костей есть “6”; 2) сумма выпавших очков на двух гранях равна 7; 3) сумма выпавших очков на двух гранях – нечетная.

ТВ694 На 6 одинаковых карточках написаны цифры 2, 3, 4, 5, 8, 10. Наугад берутся две карточки. Найти вероятность того, что образованная из двух выбранных карточек дробь: 1) сократима; 2) несократима; 3) после сокращения дробь равна ½ или ¼.