Формула полной вероятности, формулы вероятностей гипотез (формулы Байесса)

ТВ695 Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80 % всего времени полета, условия перегрузки — в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки — 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.

ТВ696 Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвертого – 0,5%. Производительности станков относятся как 4:3:2:1 соответственно. 1) Найти вероятность того, что случайно взятая деталь оказалась бракованной; 2) случайно взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

ТВ697 Команда составлена из двух отличных, трех хороших и пяти средних стрелков. Вероятности попадания в мишень для этих стрелков равны соответственно: 0,99; 0,9; 0,8. 1) найти вероятность того, что случайно выбранный стрелок попадет в мишень; 2) случайно выбранный стрелок попал в мишень. Найти вероятность того, что этот стрелок – средний.

ТВ698 Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,3% бракованных, со второго – 0,5%, с третьего – 1%. Производительности станков относятся как 5:4:3 соответственно. 1) Найти вероятность того, что случайно взятая деталь оказалась бракованной; 2) случайно взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором или на третьем станке.

ТВ699 В группе студентов количество отличников, хорошистов, троечников относится как 1:4:7. На экзамене отличник может получить “5” с вероятностью 0,8; для хорошиста эта вероятность равна 0,5; для троечника 0,1. 1) Какова вероятность того, что студент, сдающий экзамен получит “5”; 2) Случайный студент получил “5”. Какова вероятность того, что он отличник? 3) Случайный студент получил “5”. Какова вероятность того, что он троечник?

ТВ700 В магазин поступила продукция с четырех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% – первого предприятия, 25% – второго предприятия, 35% – третьего предприятия, 20% – четвертого предприятия. 20% продукции первого предприятия высшего сорта, на остальных предприятиях эти показатели: 25%, 40%, 15% соответственно. 1) Найти вероятность того, что случайно купленная продукция окажется высшего сорта. 2) случайно купленная продукция – высшего сорта. Какова вероятность того, что она со второго или четвертого предприятия.

ТВ701 По линии связи возможна передача кода 1234 с вероятностью 0,6 и кода 4321 с вероятностью 0,4. Код высвечивается на табло, которое может исказить цифры. Вероятность принять 1 за 1 равна 0,8, а 1 за 4 равна 0,2. Вероятность принять 4 за 4 равна 0,9, а 4 за 1 равна 0,1. Вероятность принять 2 за 2 и 3 за 3 равна 0,7. Вероятность принять 2 за 3, 3 за 2 равна 0,3. Оператор принял код 4231. Определить вероятность того, что передан код: 1) 1234; 2) 4321.

ТВ702 Исследование больного вызвало предположение о возможности одного из трех заболеваний А1, А2, А3 с вероятностями 5/12, 1/3, 1/4. Для уточнения диагноза был проведен некоторый анализ, который при первом заболевании дает положительный ответ с вероятностью 0,8, при втором – 3/8, при третьем – 1/6. Анализ дал положительный результат. Какова после этого вероятность одного из трех заболеваний.

ТВ703 Имеется 4 ящика. В первом ящике 1 белый и 1 черный шар, во втором – 2 белых и 3 черных шара, в третьем – 3 белых и 5 черных шаров, и в четвертом – 4 белых и 7 черных шаров. Событие - выбор i-го ящика (i=1,2,3,4). Известно, что вероятность выбора i-го ящика равна . Выбирают наугад один из ящиков и вынимают из него шар. Найти веро-ятность того, что этот шар блый.

ТВ704 Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

ТВ705 Для участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из 1-й группы 4 студента, из 2-й – 6, из 3-й – 5. Вероятности того, что отобранный студент из 1, 2 или 3-й группы попадет в сборную, равны соответственно 0,5; 0,4; 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из трёх групп он вероятнее всего принадлежит?

ТВ706 При проверке качества зерен пшеницы было установлено, что все зерна могут быть разделены на 4 группы. К зернам 1-ой группы принадлежит 80%, ко 2-ой – 5%, к 3-ей – 7%, к 4-ой – 8% всех зерен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для 1-ой группы равна 0,5, для 2-ой – 0,2, для 3-ей – 0,18, для 4-ой – 0,02. 1) Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. 2) Из взятого наугад зерна вырос колос, содержащий не менее 50 зерен. Какова вероятность того, что он из 1-ой группы.

ТВ707 Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% — государственные ор¬ганы, 20% — другие банки, остальные — физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Оп¬ределить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.

ТВ708 Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2 000 руб., при солнечной погоде равна 80%, при переменной облачности — 50%, а при дождливой погоде — 10%. Найти вероятность того, что на следующей неделе оборот превысит 2 000 руб., если вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20%, вероятность переменной облачности и вероятность дождли¬вой погоды — по 40%.

ТВ709 Если предприниматель планирует существенное изменение в образце товара, то с вероятностью 0,7 он начнёт вносить изменения в технологию производства до 1 сентября, если же он не планирует существенной переделки, то вероят¬ность изменения технологии составит 0,2. На основании предыдущего опыта ве¬роятность существенной переделки об-разца составляет 0,2. Вычислить вероятности следующих событии: а) в технологию будут внесены изменения до 1 сентября; б) образец товара претерпит существенные изменения, если изменения в техноло¬гию начинают вноситься до 1 сентября; в) образец товара претерпит существенные изменения, если 1 сентября уже прошло, а изменений в технологии не про¬изошло.

ТВ710 Магазин получает товар от трёх поставщиков: 55% товара поступает от первого поставщика, 20% от второго и 25% от третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика — 6% брака, а поступающая от третьего поставщика — 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий по-купателя жалобу о низком качестве приобретённого то¬вара. Найти ве-роятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупате-ля, поступил от второго поставщика.

ТВ711 При расследовании преступления, совершённого на автозаправочной станции (АЗС), было установлено, что поток автомобилей, проезжающих мимо АЗС, состоит на 60% из грузовых и на 40% из легковых автомобилей. По показани¬ям свидетелей, во время совершения преступления на АЗС находился автомобиль. Известно, что верояшость заправки грузового автомобиля равна 0,1, легкового ав¬томобиля — 0,3. Найти вероятность того, что во время совершения преступления на АЗС находился: а) грузовой автомобиль; б) легковой автомобиль.

ТВ712 В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

ТВ713 В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № I, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах N° 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0.6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.

ТВ714 В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

ТВ715 В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

ТВ716 Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

ТВ717 Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй—84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

ТВ718 В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% —заболеванием L, 20%—с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

ТВ719 В группе из 25 человек, пришедших сдавать экза¬мен по теории вероятно-стей, имеется 10 отличников, 7 под¬готовленных хорошо, 5 удовлетвори-тельно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 25 вопросов про¬граммы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15, и плохо подготовленные – 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на 2 заданных вопроса. Найти вероятности со¬бытий: S1={студент подготовлен отлично или хорошо}, S2={студент подготовлен удовлетворительно}, S3={студент подготовлен плохо}.

ТВ720 Однотипные приборы выпускаются тремя заво¬дами в количественном от-ношении п1 : п2 : n3 , причем ве¬роятности брака для этих заводов соответ-ственно равны p1, p2 и p3. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствует)?

ТВ721 На вход радиолокационного устройства с вероят¬ностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 — только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха, — то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти ве¬роятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

ТВ722 Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4, 0,3, 0,5.

ТВ723 Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

ТВ724 В первой урне находится 6 белых и 4 черных шара, во второй — 3 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу извлекают сразу 3 шара, и шары того цвета, кото¬рые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?