задача наискорейшего спуска - 3 Февраля 2014 - Примеры решений задач

Главная » 2014 » Февраль » 3 » задача наискорейшего спуска

20:09

задача наискорейшего спуска

Решение задачи наискорейшего спуска

Пример. Найти минимум интеграла

$I(y)=\int\limits_{0}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}\,dx$

на множестве функций, удовлетворяющих граничным условиям $y(0)=0,~y(x_2)=y_2$ .

В этой задаче

$F=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}.$

Уравнение Эйлера

$F'_y-\frac{d}{dx}\,F'_{y'}=0,~~~~~~~~~(16)$

или после вычисления производной по переменной $x$

$F'_{y}(x,y,y')-F'_{xy'}(x,y,y')-F'_{yy'}y'-F'_{y'y'}(x,y,y')y''=0.~~~~~~~(17)$

имеет форму

$-\frac{1}{2}\,y^{-3/2}\sqrt{1+y'^2}-\frac{d}{dx}\!\left(y^{-1/2}\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\right)=0.$

После некоторых упрощений оно приводится к виду

$\frac{2y''}{1+y'^2}=-\frac{1}{y}.$

Умножая обе части равенства на $y'$ и интегрируя, получим

$\ln(1+y'^2)=-\ln{y}+\ln{k}$

$y'^2=\frac{k}{y}-1,~\sqrt{\frac{y}{k-y}}\,dy=\pm dx.$

Полагая теперь

$y=\frac{k}{2}(1-\cos{u}),~dy=\frac{k}{2}\sin{u}\,du$

найдем после подстановки и упрощения $\usepackage[usenames]{color}\gammacorrection{1.5}\dpi{130}{}$ откуда, интегрируя, получаем: $x=\pm\frac{k}{2}(u-\sin{u})+C$ .

Так как кривая должна проходить через начало координат, следует положить $C=0$ .

Мы видим, таким образом, что брахистохрона есть циклоида

$x=\frac{k}{2}(u-\sin{u}), \quad y=\frac{k}{2}(1-\cos{u}).$

Постоянная $k$ должна быть найдена из того условия, чтобы эта кривая прошла через точку $M_2(x_2,y_2)$ .

Категория: Вариационное исчисление | Просмотров: 2456 | Добавил: Admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0