Главная » 2015 » Август » 11 » Тригонометрические формулы

13:59

Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы

**Основные тригонометрические формулы**
№	Формула
1.1	${\color{Blue} \operatorname{sin}^2 \alpha + \operatorname{cos}^2 \alpha = 1 }$
1.2	${\color{Blue} \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha }$
1.3	${\color{Blue} \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha }$
1.4	${\color{Blue} \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1}$

**Формулы сложения и вычитания аргументов**
№	Формула
2.1	${\color{Blue} \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$
2.2	${\color{Blue} \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$
2.3	${\color{Blue} \operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta} }$
2.4	${\color{Blue} \operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha}}$

**Формулы двойного угла**
№	Формула
3.1	${\color{Blue}\operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha} }$
3.2	${\color{Blue} \operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha} }$
3.3	${\color{Blue} \operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} }$
3.4	${\color{Blue} \operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha} }$

**Формулы тройного угла**
№	Формула
4.1	${\color{Blue} \sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \ }$
4.2	${\color{Blue} \operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha} }$
4.3	${\color{Blue} \operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha} }$
4.4	${\color{Blue} \cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \ }$

**Формулы понижения степени**
№	Синус
5.1	${\color{Blue} \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} }$
5.2	${\color{Blue} \sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4} }$
5.3	${\color{Blue} \sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} }$
5.4	${\color{Blue} \sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16} }$
	Сосинус
5.5	${\color{Blue} \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} }$
5.6	${\color{Blue} \cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4} }$
5.7	${\color{Blue} \cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} }$
5.8	${\color{Blue} \cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16} }$

**Произведение**
№	Формулы
6.1	${\color{Blue} \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8} }$
6.2	${\color{Blue} \sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32} }$
6.3	${\color{Blue} \sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128} }$
6.4	${\color{Blue} \sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512} }$

**Формулы преобразования произведения функций**
№	Формула
7.1	${\color{Blue} \sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2} }$
7.2	${\color{Blue} \sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha - \beta) + \sin ( \alpha + \beta) }{2} }$
7.3	${\color{Blue} \cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) + \cos ( \alpha + \beta)}{2} }$

**Формулы преобразования суммы функций**
№	Формулы
8.1	${\color{Blue} \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2} }$
8.2	${\color{Blue} \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2} }$
8.3	${\color{Blue} \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} }$
8.4	${\color{Blue} \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin \alpha \sin \beta} }$
8.5	${\color{Blue} \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta} }$

**Универсальная тригонометрическая подстановка**
${\color{Blue} \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} }$	${\color{Blue} \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}} }$
${\color{Blue} \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} }$	${\color{Blue} \operatorname{ctg}\, \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} }$
${\color{Blue} \sec\alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} }$	${\color{Blue} \operatorname{cosec}\, \alpha = \frac{1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} }$

1
2
3
4
5

Категория: тригонометрия примеры | Просмотров: 2085 | Добавил: Admin | Теги: тригонометрические уравнения | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0