Примеры многокритериальных задач

Пример 1. Найти значения переменных, при которых функции

L₁ = 2x₁ + x₂ + 1 → max

L₂ = x₁ - x₂ + 5 → min

при ограничениях:

x₁ + 2x₂ ≤ 8,

0 ≤ x ≤ 6,

0 ≤ x ≤ 3.

Решение.

1) Построим область допустимых решений. Ограничительные условия те же, что и в примере 1, соответственно совпадают решения пункта 1.

2) Преобразуется в задачу максимизации.

Введем функцию

L'₂ = -x₁ + x₂ - 5 → max 

Тогда, согласно замечанию, исходная задача преобразуется в задачу максимизации

L₁ = 2x₁ + x₂ + 1 → max

L'₂ = -x₁ + x₂ - 5 → max 

3) Строим область допустимых решений в пространстве критериев. Подвергнем координаты каждой точки плоскости  преобразованиям  L₁ = 2x₁+x₂+1 → max  и  L'₂ = -x₁ + x₂ - 5 → max  . Получим плоскость OL₁L₂. При этом в силу линейности проводимых преобразований прямоугольная система координат  перейдет в прямоугольную систему координат , а многоугольник ABCDE в многоугольник A*B*C*D*E*, вершины которого имеют соответственно координаты: (1; -5), (4; -2), (8; -4), (14; -10), (13; -11) (рис. 2).

Таким образом, все точки, координаты которых удовлетворяют условиям L₁ = 2x₁+x₂+1 → max,  L'₂ = -x₁ + x₂ - 5 → max  .  и  (x₁, x₂) ϵ X, определяют на плоскости многоугольник A*B*C*D*E*. Следовательно, область допустимых решений  данной задачи в системе координат (пространстве критериев) представляет собою многоугольник A*B*C*D*E*.

4) Множество Парето образуют точки ломаной B*C*D*.

5) Находим точку утопии. Выбираем комбинацию наилучших значений всех критериев. В данном случае это точка U с координатами (14; -2).

6) Находим идеальную точку. Теперь необходимо найти во множестве Парето точку, расположенную ближе всех к точке утопии U. Из рис. 2 видно, что точка I( I₁, I₂ ), являющаяся основанием перпендикуляра, проведенного из точки U (14; -2) к прямой C*D*, принадлежит отрезку C*D*. Это означает, что точка I — искомая.

7) Находим  координаты идеальной точки.  Находим уравнение прямой C*D* и находим точку пересечения перпендикуляра проходящего через точку утопии U получаем координаты идеальной точки I( I₁, I₂ ). Для отыскания ее координат воспользуемся способом, описанным в замечании