Любой задаче линейного программирования можно сопоставить сопряженную или двойственную ей задачу. Причем, совместное исследование этих задач дает, как правило, значительно больше информации, чем исследование каждой из них в отдельности.

Любую задачу линейного программирования можно записать в виде:

Первоначальная задача называется Исходной или Прямой.

Модель двойственной задачи имеет вид:

Переменные двойственной задачи называют объективно обусловленными оценками или двойственными оценками.

Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1. Целевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целевая функция двойственной задачи – на минимум, при этом в задаче на максимум все неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум – вид ;

2. Матрица составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче;

4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи;

5. Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. Если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Математические модели пары двойственных задач могут быть симметричными и несимметричными. В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной – в виде неравенств, причем переменные в двойственной задаче могут быть и отрицательными. В симметричных двойственных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается в виде неравенств, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Где:

, .

,