Объединение множеств

• Объединением или суммой n множеств A_¹ , A₂ , …, A_n называется множество , состоящее из элементов , входящих хотя бы в одно из этих n множеств : A = A₁ U A₂ U… U A_n где знак U обозначает операцию объединения множеств .

Формально операция объединения множеств определяется следующим образом :

A = {x / x ∈ A₁ ∨ x ∈ A₂ ∨ … ∨ x ∈ A_n },

где ∨ — логический знак , обозначающий союз ИЛИ . Читается эта запись так : множество А — это все те значения х , которые принадлежат множеству А₁ , или множеству А₂ , или множеству А₃ и так далее до множества А_п .

Для выполнения операции объединение множеств имеется калькулятор операций над множествами.

Например , пусть даны множества : A_{1 ... Смотреть решение »}

Универсальное множество

• Одним из важнейших понятий теории множеств является понятие универсального множества ( иногда используется термин «полное множество» , а также «универсум» .
  • Обозначается оно обычно символом I ( либо U). Множество I — это множество всех тех элементов , которые участвуют в данном рассуждении . Любое рассматриваемое при этом множество является подмножеством универсального множества .

Например , если рассматриваются различные множества целых положительных чисел за исключением нуля , то универсальным можно считать множество всех натуральных чисел.

На диаграммах Венна универсальные множества изображаются в виде прямоугольников , внутри которых размещаются круги , обозначающие подмножества соответствующих универсальных множеств .

На рис.3 показан пример универсального множества I = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и двух его подмножеств P = {2} и Q = {2, 3, 5, 7), где P — множество четных простых чисел , а Q — множество всех простых чисел , меньших 10.

... Смотреть решение »

Подмножества

• Множество B называется подмножеством множеством A, если все элементы множества B принадлежат множеству A.
  • Будем различать следующие две записи : B ⊆ A и B ⊂ A, где символы ⊆ и ⊂ представляют собой знаки включения.
    • Запись B ⊆ A читается так : « множество B включено в множество A, причем множество A является подмножеством самого себя ».
    • Запись B ⊂ A говорит о том , что все элементы множества B входят в множество A, но само множество A не является своим подмножеством .

 Выясним , сколько всего существует подмножеств данного множества . Запишем элементы заданного множества P в каком - либо порядке и каждому элементу поставим в соответствие двоичный разряд Пусть 0 ( нуль ) обозначает , что соответствующий элемент отсутствует в подмножестве , а 1 — что этот элемент входит в подмножество . Тогда каждому |P|- разрядному двоичному числу будет соответствовать определенное подмножество . Известно , что всего существует 2^|P| |P|- разрядных двоичных чисел . Следовательно , число всех подмножеств также равно 2^|P| .

 Проиллюстрируем это на примере множества P = {a, b, c}. В табл . 1 указаны элементы a, b, c, и под каждым элементом записаны двоичные цифры . В левой колонке приведены десятичные эквиваленты двоичных трехразрядных чисел . В правой части таблицы перечисле ... Смотреть решение »