Каждая рациональная функция на каждом промежутке, принадлежащем ее области определения, представима в виде суммы многочлена и элементарных рациональных дробей

Поэтому интегрирование рациональных функций сводится к разложению рациональной функции на элементарные дроби и к интегрированию элементарных дробей и многочленов. Интегрирование элементарных дробей производится следующим образом:

Из формул 1)-4) следует, что интеграл от элементарной дроби выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Поэтому неопределенный интеграл от любой рациональной функции на всяком промежутке, принадлежащем ее области определения, является элементарной функцией, представимой в виде алгебраической суммы композиций рациональных функций, логарифмов и арктангенсов.


Пример 1. Найти интеграл рациональной функции

Интегрирование по частям.

Пусть функции u(х) и v(x) непрерывны на некотором промежутке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, то

 

Формула (4) называется формулой интегрирования по частям. Применение формулы (4) целесообразно в тех случаях, когда подынтегральное выражение f(x)dx удается представить в виде произведения двух множителей u и dv таким образом, чтобы интегрирование выражений dv и vdu являлось задачей более простой, чем интегрирование исходного выражения. По известному дифференциалу dv функция v и определяется неоднозначно, но в формуле (4) в качестве v может быть выбрана любая функция с данным дифференциалом dv. Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
Пример 1. Найти интеграл: