Жорданова форма матрицы - 16 Апреля 2014 - Примеры решений задач

Главная » 2014 » Апрель » 16 » Жорданова форма матрицы

12:47

Жорданова форма матрицы

Жордановы клетки и матрицы

Квадратную матрицу (r-го порядка) вида

$J_{r}(\lambda_0)= \begin{pmatrix}\lambda_0&1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ 0&0&0&\cdots&\lambda_0 \end{pmatrix}$

называют жордановой клеткой r-го порядка, соответствующей собственному значению $\lambda_0$ .

Все элементы на главной диагонали этой верхней треугольной матрицы равны $\lambda_0$ , элементы над главной диагональю равны единице, а остальные элементы равны нулю.

Определение жордановой матрицы

Жордановой матрицей называют блочно-диагональную матрицу, на диагонали которой стоят жордановы клетки:

$J=\operatorname{diag}\Bigl(J_{r_1}(\lambda_1),\, J_{r_2}(\lambda_2),\,\ldots,\, J_{r_k}(\lambda_k)\Bigr)= \begin{pmatrix} J_{r_1}(\lambda_1)\!\!&\vline\!\!&O\!\!& \vline\!\!&\cdots\!\!&\vline\!\!&O\\[4pt]\hline O\!\!&\vline\!\!& J_{r_2}(\lambda_2)\!\!&\vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!&O\\[4pt]\hline \vdots\!\!&\vline\!\!& \vdots\!\!& \vline\!\!&\ddots\!\!&\vline\!\!& \vdots\\[4pt]\hline O\!\!&\vline\!\!& O\!\!&\vline\!\!& \cdots\!\!&\vline\!\!& J_{r_k}(\lambda_k) \end{pmatrix}\!.$

Здесь $O$ — нулевые матрицы соответствующих размеров. Среди собственных значений $\lambda_1,\lambda_2, \ldots,\lambda_k$ могут быть равные, размеры $r_1,r_2,\ldots, r_k$ жордановых клеток (всех или некоторых) тоже могут совпадать. Жорданова матрица — почти диагональная. На ее главной диагонали стоят собственные значения, некоторые элементы над главной диагональю равны единице, остальные элементы нулевые. Про матрицу говорят, что она имеет нормальную жорданову форму (или просто жорданову форму).

Категория: Линейная алгебра | Просмотров: 8120 | Добавил: Admin | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0