Множество называется линейным пространством, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения на действительное число и для любых элементов и произвольных чисел справедливо:

1. , сложение коммутативно;
2. , сложение ассоциативно;
3. существует единственный нулевой элемент такой, что ,  ;
4. для каждого элемента существует единственный противоположный элемент такой, что ,
5. , умножение на число ассоциативно;
6. , ;
7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства (векторного пространства).

Линейное пространство часто называют векторным пространством,  а его элементы -- векторами.

Говорят, что элемент (вектор) линейного пространства линейно выражается через элементы (векторы) , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов, т.е. представить в виде

Если любой вектор системы векторов линейного пространства линейно выражается через остальные векторы системы, то система векторов называется линейно зависимой.

Система векторов, которая  не является линейно зависимой, называется  линейно независимой.

  Если в линейном пространстве существует линейно независимая система из векторов, а любая система из -го вектора линейно зависима, то число называется размерностью пространства и обозначается . В этом случае пространство называют -мерным линейным пространством или -мерным векторным пространством.